Question

Найти все значения m из условия, что корни уравнения: x^3-30x^2+mx-780=0 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.

Answer 1

Пусть корни уравнения a, b и c, тогда левая часть уравнения должна представляться в виде (x - a)(x - b)(x - c) = x^3 - (a + b + c) x^2 + (ab + ac + bc) x - abc. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему из трех уравнений:

a + b + c = 30

ab + ac + bc = m

abc = 780

Без ограничения общности можно считать, что a ≤ b ≤ c. Чтобы это три числа были длинами сторон прямоугольного треугольника, они должны быть положительными, и по теореме Пифагора c^2 = a^2 + b^2.

Немного перепишем первое уравнение и возведём его в квадрат:

a + b = 30 - c

(a + b)^2 = (30 - c)^2

a^2 + b^2 + 2ab = 900 - 60c + c^2

(a^2 + b^2 - c^2) + 2ab = 900 - 60c – выражение в скобках равно нулю

2ab = 900 - 60c

ab = 450 - 30c = 30(15 - с)

Подставляем в третье уравнение:

30(15 - с)с = 780

(15 - с)с = 26

с^2 - 15c + 26 = 0

Корни угадываем по теореме Виета, c = 2 или 13.

1) Если c = 2, то a + b = 30 - 2 = 28; ab = 30 * (15 - 2) = 390. По теореме Виета a, b – корни уравнения t^2 - 28t + 390 = 0, но у этого уравнения дискриминант отрицательный: D/4 = 196 - 390 < 0, – и поэтому нет корней.

2) Если c = 13, то a + b = 30 - 13 = 17; ab = 30 * (15 - 13) = 60. Аналогично, a, b – корни уравнения t^2 - 17t + 60 = 0. У этого уравнения D > 0, так что корни существуют.

m = ab + c(a + b) = 60 + 13 * 17 = 281.

Ответ. m = 281

Answer 2

Чтобы найти значения m, при которых корни уравнения $x^3 - 30x^2 + mx - 780 = 0$ являются длинами сторон прямоугольного треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и условиями, при которых треугольник будет прямоугольным. Треугольник будет прямоугольным, если выполняется следующее условие:

$a^2 + b^2 = c^2$

где $a$ и $b$ - длины катетов, а $c$ - длина гипотенузы треугольника.

В данном случае, мы имеем кубическое уравнение, и его корни будут являться длинами сторон треугольника, если они удовлетворяют условию Пифагора.

У нас есть уравнение $x^3 - 30x^2 + mx - 780 = 0$, и мы хотим, чтобы его корни ($x_1$, $x_2$, и $x_3$) соответствовали условию $x_1^2 + x_2^2 = x_3^2$.

Теперь мы можем рассмотреть все возможные комбинации корней $x_1$, $x_2$ и $x_3$, и для каждой комбинации проверить, удовлетворяют ли они условию Пифагора.

1. $x_1^2 + x_2^2 = x_3^2$
2. $x_1^2 + x_3^2 = x_2^2$
3. $x_2^2 + x_3^2 = x_1^2$

Для каждой из этих комбинаций, мы можем решить уравнение и найти значения $m$, которые удовлетворяют условию. Это может быть достаточно трудоемкой задачей, так как корни могут быть как рациональными, так и иррациональными числами.

Таким образом, вам потребуется решить это уравнение тремя различными способами для каждой комбинации и провести анализ корней, чтобы найти значения $m$, при которых треугольник будет прямоугольным.