Question

Дети решали задачи. Каждую задачу решила хотя бы половина ребят. Каждый ребенок решил не более половины задач. Докажите, что детей было черное число.

Answer 1

Пусть у нас x ребят и n задач. Предположим, что x нечетно. Поэтому каждую задачу решило хотя бы (x+1)/2 ребенка. Найдем среднее количество решенных задач:  $n_{m} = \frac{n(x+1)}{2x}$. Заметим также, что  $\frac{n(x+1)}{2x}\ \textgreater \ \frac{n}{2}$, поскольку  $\frac{x+1}{x}\ \textgreater \ 1$. То есть среднее количество решенных задач больше их половины. По условию, каждый ребенок решил не более половины задач, то есть среднее количество решенных задач не превосходит их половины. Противоречие. Значит x - четно

Answer 2

Давайте рассмотрим это утверждение более подробно и попробуем доказать его.

Предположим, что всего было N детей, и каждый ребенок решал задачи. По условию задачи, каждый ребенок решил не более половины задач, что означает, что каждый ребенок решил максимум N / 2 задач.

Теперь давайте предположим, что было четное количество детей, т.е., N - четное число. Тогда N / 2 также является целым числом. Если каждый ребенок решил максимум N / 2 задач, то общее количество решенных задач равно N * (N / 2) = N^2 / 2.

Но согласно условию задачи, каждая задача была решена хотя бы половиной детей. Это означает, что общее количество решенных задач также должно быть целым числом. Однако N^2 / 2 является половиной квадрата четного числа N, и, следовательно, N^2 / 2 не является целым числом, так как квадрат четного числа делится на 4. Это противоречие доказывает, что предположение о четном количестве детей неверно.

Следовательно, количество детей должно быть нечетным числом, чтобы обеспечить выполнение условий задачи.