Question

Дима,Вася и Миша решали 30 задач, причем каждый из них решил по 12 задач. Назовем задачу трудной, если решил только один из мальчиков, и легкой, если ее решили все трое. Выберите утверждения, которые следуют из приведенных данных: 1) число легких задач меньше 3; 2) число трудных задач больше 26; 3) число трудных задач больше легких ровно на 24; 4) если один из трех решил 10 трудных задач, то другие двое в сумме решили ровно 16 трудных задач.

Answer 1

Дима, Вася и Миша решали 30 задач. т.е. предполагается что каждая из 30 задач решена хотя бы одним из парней.

Пусть А - число задач, которые только Димой,
В - только Васей,
С - только Мишей,
D -число задач, которые решены и Димой и Васей, но не Мишей,
E - число задач,которые решены и Васей и Мишей, но не Димой,
F - число задач, которые решены и Димой и Мишей, но не Васей,
G - число задач которые решены и Димой, и Мишей, и Васей

А, В,С,D,E,F,G - как количество решенных задач либо натуральные числа, либо число 0

тогда далее А+D+F+G=12
B+D+E+G=12
C+E+F+G=12
A+B+C+D+E+F+G=30

задачи А, В,С - трудные, G - легкие
2*(A+B+C+D+E+F+G)-
((A+D+F+G)+(B+D+E+G)+(C+E+F+G))=2*30-(12+12+12)
(A+B+C)-G=60-36=24

отсюда получили, что 3) число трудных задач больше легких ровно на 24
----------
(A+D+F+G)+(B+D+E+G)+(C+E+F+G)-(A+B+C+D+E+F+G)=12+12+12-30
D+E+F+2G=36-30
D+E+F+2G=6 
откуда следует, что 2G<=6, G<=3, рассмотрим случай G=3
тогда D+E+F=0, D=E=F=0, 
A=B=C=9 - возможный случай, следовательно
1) число легких задач меньше 3 - НЕВЕРНО

из ранее полученного равенства
(A+B+C)-G=24, A+B+C=24+G
с учетом полученного неравенства G<=3 получаем
A+B+C<=27, причем равенство возможно лишь в том ранее рассмотренном случае G=3, D=E=F=0, A=B=C=9
а значит утверждение 2) число трудных задач больше 26 в общем случае неверно  
(контрпример А=10, D=0, F=0, B=C=8, E=2, G=2 трудных задач 10+8+8=26 не больше 26

Не ограничивая общности, пусть например A=10 (точно так же могли бы выбрать В=10 или С=10 - ход рассуждений остался бы тот же)

перепишем наши равенства с учетом допущения А=10
D+F+G=2
B+D+E+G=12
C+E+F+G=12
B+C+D+E+F+G=20

откуда  (B+C+D+E+F+G)-(D+F+G)=20-2
B+C+E=18

(B+D+E+G)+(C+E+F+G)-(D+F+G)=12+12-2
B+C+2E+G=22
E+G=4

рассмотрим случаи G=4 - невозможно в силу G<=3
G=3=>D=E=F=0, A=B=C=9 - невозможен
G=E=2;  - удовлетворяет 
G=1; E=3

D+F=1
B+D=8
C+F=8
например D=0, F=1, B=8, C=7
10+0+1+1=12
8+0+3+1=12
7+3+1+1=12
10+8+7+0+3+1+1=30
имеем контрпример A=10; B=8;C=7; D=0;E=3;F=1;G=1 где
 А=10, B+С не равно 16
значит последнее утверждение 4) НЕВЕРНО

Answer 2

Дано, что каждый из мальчиков решил по 12 задач. Поэтому суммарное количество решенных задач равно 3 * 12 = 36 задачам.

Пусть x - количество легких задач, y - количество трудных задач.

Тогда x + y = 36.

По условию, задача считается трудной, если ее решил только один из мальчиков. Значит, количество трудных задач, решенных только одним из мальчиков, должно быть равно 1. То есть, y - x = 1.

Утверждение 1) Число легких задач меньше 3. Для этого утверждения рассмотрим два случая: - Если x = 0, то y = 1. Так как y > 0, то это утверждение неверно. - Если x = 1, то y = 2. Так как y > 0, то это утверждение верно.

Утверждение 2) Число трудных задач больше 26. Для этого утверждения рассмотрим два случая: - Если x = 0, то y = 1. Так как y < 27, то это утверждение неверно. - Если x = 1, то y = 2. Так как y < 27, то это утверждение верно.

Утверждение 3) Число трудных задач больше легких ровно на 24. Из уравнения y - x = 1 следует, что y = x + 1. Подставляем это в первое уравнение: x + (x + 1) = 36, 2x + 1 = 36, 2x = 35, x = 17.5. Так как x - количество задач, должно быть натуральным числом, то это утверждение неверно.

Утверждение 4) Если один из трех решил 10 трудных задач, то другие двое в сумме решили ровно 16 трудных задач. Пусть один из мальчиков решил 10 трудных задач. Тогда осталось решить еще 26 трудных задач. Значит, двое других мальчиков должны решить в сумме 16 трудных задач. Поскольку каждый из них решил по 12 задач, то это утверждение неверно.

Таким образом, из приведенных данных следуют утверждения: 1) Число легких задач меньше 3. 2) Число трудных задач больше 26.