Question

Однородное ДУ x^2+y^2=2xyy'

Answer 1

Однородным называется уравнение вида y'=f(x,y), где f(x,y) - однородная функция нулевого порядка. Идея решения: замена u=y/x => y=ux.

Answer 2

Вы предоставили дифференциальное уравнение (ДУ) в форме, которая не является стандартной линейной или разрешимой на месте формой. Давайте попробуем решить это уравнение.

Уравнение: x^2 + y^2 = 2xyy'

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом разделения переменных. Сначала перегруппируем его в следующей форме:

x^2 + y^2 - 2xyy' = 0

Теперь мы можем разделить переменные, переместив члены, содержащие x и y на одну сторону, а члены, содержащие производную y, на другую сторону:

x^2 + y^2 = 2xyy'

x^2 + y^2 - 2xyy' = 0

Теперь мы можем попробовать разделить переменные, выделяя y и y':

x^2 - 2xyy' + y^2 = 0

Теперь давайте представим y' как производную от y по x и применим метод разделения переменных:

x^2 - 2xy(dy/dx) + y^2 = 0

(x^2 + y^2) - 2xy(dy/dx) = 0

Теперь давайте попробуем разделить переменные и перегруппировать:

(x^2 + y^2) = 2xy(dy/dx)

Теперь мы можем разделить переменные, переместив x и y на одну сторону и dy/dx на другую сторону:

(x^2 + y^2) / (xy) = 2(dy/dx)

Теперь мы интегрируем обе стороны по переменной x:

∫[(x^2 + y^2) / (xy)] dx = ∫2 dy

Это интегральное уравнение, и его решение потребует выполнения интегралов с обеих сторон. Это может быть сложной задачей, и точное аналитическое решение может быть довольно сложным. Возможно, потребуется использовать численные методы для нахождения приближенного решения.

Пожалуйста, уточните, если у вас есть конкретные начальные условия или другие ограничения, которые помогут упростить это уравнение.