Question

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения 2xyy'=1-x^2 Ответ: y^2=ln|x|-(x^2/2)+C

Answer 1

$2xyy'=1-x^2\ \ \ \to \ \ \ \ y'=\dfrac{1-x^2}{2xy}\ \ ,\ \ \ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1-x^2}{2xy}\\\\\\\int 2y\, dy=\int \dfrac{(1-x^2)}{x}\, dx\ \ \ ,\ \ \ \int 2y\, dy=\int \Big(\dfrac{1}{x}-x\Big)\, dx \\\\\\\boxed {y^2=ln|x|-\dfrac{x^2}{2}+C\ }$

Answer 2

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения $2xy \frac{dy}{dx} = 1 - x^2$, давайте разделим переменные и проинтегрируем обе стороны:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x^2}{2xy}$.

Теперь переместим все члены, содержащие $y$, на левую сторону, а члены, содержащие $x$, на правую сторону:

$\frac{dy}{y} = \frac{1 - x^2}{2x}dx$.

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интеграл от левой стороны даст $\ln|y|$, а интеграл от правой стороны можно вычислить следующим образом:

$\int \frac{1 - x^2}{2x}dx$.

Сначала разложим числитель на две дроби:

$\frac{1 - x^2}{2x} = \frac{1}{2x} - \frac{x^2}{2x} = \frac{1}{2x} - \frac{x}{2}$.

Теперь проинтегрируем обе дроби по отдельности:

$\int \frac{1}{2x}dx - \int \frac{x}{2}dx$.

Интеграл от $\frac{1}{2x}$ даст $\frac{1}{2}\ln|x|$, а интеграл от $-\frac{x}{2}$ даст $-\frac{x^2}{4}$.

Таким образом, правая сторона становится $\frac{1}{2}\ln|x| - \frac{x^2}{4}$.

Теперь объединим оба интеграла:

$\ln|y| = \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{x^2}{4} + C$,

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы избавиться от логарифма в левой стороне, применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

$|y| = e^{\frac{1}{2}\ln|x| - \frac{x^2}{4} + C}$.

Теперь учтем абсолютное значение:

$y = \pm e^{\frac{1}{2}\ln|x| - \frac{x^2}{4} + C}$.

Используя свойства логарифмов и экспоненты, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$y = \pm e^C \cdot e^{\frac{1}{2}\ln|x| - \frac{x^2}{4}}$.

Теперь внесем $e^C$ в новую константу $A$:

$y = A \cdot e^{\frac{1}{2}\ln|x| - \frac{x^2}{4}}$.

Так как $e^{\frac{1}{2}\ln|x|} = \sqrt{|x|}$, мы можем записать окончательный ответ в более компактной форме:

$y = A\sqrt{|x|}e^{-\frac{x^2}{4}}$