Question

Однородное ДУ x^{2} +y^{2} =2xyy'

Answer 1

$x^2+y^2=2xyy'\; |:x^2\\\\1+(\frac{y}{x})^2= 2\cdot \frac{y}{x}\cdot y'\\\\u=\frac{y}{x}\; ,\; y=ux\; ,\; y'=u'x+u\\\\1+u^2=2u\cdot (u'x+u)\\\\2uu'x=1+u^2-2u^2\\\\2uu'x=1-u^2\; ,\; \; u'=\frac{1-u^2}{2ux}\; ,\; \; \frac{du}{dx}=\frac{1-u^2}{2ux}\\\\\int \frac{2u\, du}{1-u^2}=\int \frac{dx}{x}\\\\-\int \frac{d(1-u^2)}{1-u^2}=\int \frac{dx}{x}\\\\-ln|1-u^2|=ln|x|-lnC\\\\ln|x|+ln|1-u^2|=lnC\\\\x\cdot (1-u^2)=C\\\\x\cdot (1-\frac{y^2}{x^2})=C\\\\\frac{x^2-y^2}{x}=C\; ,\; \; x^2-y^2=Cx\\\\y^2=x\cdot (x-C)\\\\y=\pm \sqrt{x\cdot (x-C)}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение (ДУ) представляет собой уравнение вида:

x^2 + y^2 = 2xyy'

Где y' обозначает производную y по x.

Чтобы решить это уравнение, давайте применим несколько шагов.

1. Выразим производную y' через x и y: y' = (x^2 + y^2) / (2xy)

2. Теперь заменим y' в исходном уравнении этим выражением: x^2 + y^2 = 2xy((x^2 + y^2) / (2xy))

3. Сократим 2xy в правой части: x^2 + y^2 = x^2 + y^2

4. Замечаем, что выражение в левой и правой частях уравнения идентично.

Это означает, что данное дифференциальное уравнение является тождественным верным уравнением, и его решением будет любая функция y(x), которая определена на интервале, где x ≠ 0.

Таким образом, решение данного ДУ имеет вид:

y(x) = f(x), где f(x) - произвольная функция, определенная на интервале x ≠ 0.