Question

Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка:2xyy' = x^2 + y^2

Answer 1

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$, получаем

$2ux^2(u'x+u)=x^2+u^2x^2\\ \\ x=0;~~ 2uu'x+2u^2=1+u^2\\ \\ 2uu'x=1-u^2$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$u'=\dfrac{1-u^2}{2ux}\\ \\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1-u^2}{2ux}~~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int \dfrac{2udu}{1-u^2}=\int \dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ -\int \dfrac{d(1-u^2)}{1-u^2}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \ln|1-u^2|=-\ln |x|+\ln C\\ \\ 1-u^2=\dfrac{C}{x}\\ \\ u=\pm\sqrt{1-\dfrac{C}{x}}$

Выполним обратную замену, сделав подстановку $u=\dfrac{y}{x}$

$\dfrac{y}{x}=\pm\sqrt{1-\dfrac{C}{x}}\\ \\ y=\pm x\sqrt{1-\dfrac{C}{x}}$

Получили общее решение и это будет ответом.

Answer 2

Для решения данного однородного дифференциального уравнения первого порядка, можно воспользоваться методом разделяющихся переменных. Для начала, давайте перепишем уравнение в более удобной форме:

$2xy\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2.$

Теперь разделим переменные, переместив всё, что содержит $y$ на одну сторону уравнения, а всё, что содержит $x$ и $dx$, на другую:

$2y\frac{dy}{dx} - \frac{y^2}{x} = x.$

Далее, приведём уравнение к более компактному виду:

$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x} = \frac{x}{2y}.$

Теперь уравнение стало линейным, и мы можем применить метод интегрирующего множителя. Для этого найдем множитель $\mu(x)$, умножающий уравнение так, чтобы левая часть стала полной производной функции:

$\mu(x) = e^{\int \left(-\frac{1}{2x}\right)dx} = e^{-\frac{1}{2}\ln|x|} = \frac{1}{\sqrt{|x|}} = \frac{1}{\sqrt{x}}, \text{ где } x \neq 0.$

Теперь умножим уравнение на $\mu(x)$:

$\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x}\right) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{x}{2y}.$

После упрощения получим:

$\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{y}}.$

Левая часть уравнения теперь стала полной производной:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{\sqrt{x}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{y}}.$

Теперь проинтегрируем обе стороны:

$\int \frac{1}{2\sqrt{y}}dy = \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx.$

$\sqrt{y} = 2\sqrt{x} + C,$

где $C$ — постоянная интегрирования.

Итак, решение уравнения имеет вид:

$y = (2\sqrt{x} + C)^2,$