Question

Решить уравнения(с подробным решением пожалуйста): 1) x^5-5x^4+4x^3+16x^2-32x+16=0 2) x^4-6x^3+8x^2+6x-9=0

Answer 1

Решения в фотографиях. :

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение x^5 - 5x^4 + 4x^3 + 16x^2 - 32x + 16 = 0

Сначала заметим, что можно сделать замену переменной, чтобы упростить уравнение. Положим y = x - 1, тогда x = y + 1. Теперь уравнение примет вид:

(y + 1)^5 - 5(y + 1)^4 + 4(y + 1)^3 + 16(y + 1)^2 - 32(y + 1) + 16 = 0

Теперь раскроем скобки и упростим:

y^5 + 5y^4 + 10y^3 + 10y^2 + 5y + 1 - 5(y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + 4(y^3 + 3y^2 + 3y + 1) + 16(y^2 + 2y + 1) - 32(y + 1) + 16 = 0

Теперь упростим выражение:

y^5 + 5y^4 + 10y^3 + 10y^2 + 5y + 1 - 5y^4 - 20y^3 - 30y^2 - 20y - 5 + 4y^3 + 12y^2 + 12y + 4 + 16y^2 + 32y + 16 - 32y - 32 + 16 = 0

Теперь сгруппируем подобные члены:

y^5 + (5 - 5 - 20 + 4 + 16) y^4 + (10 - 20 + 12) y^3 + (10 - 30 + 12) y^2 + (5 - 20 + 4 + 32) y + (1 - 5 + 4 + 16 - 32 + 16) = 0

y^5 - 15y^3 + 4y^2 + 29y + 0 = 0

Теперь мы имеем уравнение пятой степени относительно y. К сожалению, уравнения пятой степени не всегда могут быть решены аналитически с помощью элементарных методов. Мы можем попытаться найти решения численно, используя методы численного анализа или программное обеспечение, которое позволяет решать уравнения высших степеней.

2. Уравнение x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 6x - 9 = 0

Это уравнение четвертой степени. Давайте попробуем найти его рациональные корни с помощью рационального корневого теоремы. По этой теореме, рациональные корни будут делителями свободного члена (в данном случае, -9) и коэффициента при старшей степени (в данном случае, 1).

Возможные рациональные корни: ±1, ±3, ±9

Подставим каждый из этих значений в уравнение, чтобы проверить, являются ли они корнями:

При x = 1:

1^4 - 61^3 + 81^2 + 6*1 - 9 = 1 - 6 + 8 + 6 - 9 = 0

При x = -1:

(-1)^4 - 6*(-1)^3 + 8*(-1)^2 + 6*(-1) - 9 = 1 + 6 + 8 - 6 - 9 = 0

Таким образом, x = 1 и x = -1 являются корнями уравнения.

Теперь у нас есть уравнение второй степени:

(x^2 - x - 1)(x^2 - 5x + 9) = 0

Сначала рассмотрим x^2 - x - 1 = 0. Мы можем использовать квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac D = 1^2 - 4(1)(-1) D = 1 + 4 = 5

x = (-b ± √D) / (2a) x = (1 ± √5) / 2

Таким образом, у нас есть два комплексных корня:

x = (1 + √5)/2 x = (1 - √5)/2

Теперь рассмотрим x^2 - 5x + 9 = 0. Мы также можем использовать квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac D = (-5)^2 - 4(1)(9) D = 25 - 36 = -11

Поскольку дискриминант отрицателен, у нас нет действительных корней для этой части уравнения.

Итак, все корни уравнения:

x = (1 + √5)/2 x = (1 - √5)/2 x = 1 x = -1

Уравнение имеет четыре корня.