Question

1)Компания из 15 мужчин разделится на три группы,в первую из которых входят три человека,во вторую- пять и в третью- семь.Сколькими способами они могут это сделать? ( С подробным решением) 2)Найдите предел функции. lim x→2 2x^2+2x-12/3x^2-3x-6 * x^2-5x+6/3x^2-9x+6 (С подробным решением) 3)Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями y=x+2, y=2x-x^2/2+6 ( С подробным решением)

Answer 1

Решение задания приложено. На втором листе образец первого задания.

Answer 2

1. Разделение 15 мужчин на три группы: 3, 5 и 7 человек.

Для первой группы можно выбрать 3 человека из 15, используя сочетания. Количество способов выбрать 3 человека из 15 обозначим как C(15, 3):

C(15, 3) = 15! / (3! * (15 - 3)!) = 15! / (3! * 12!) = (15 * 14 * 13) / (3 * 2 * 1) = 455.

Теперь у нас осталось 12 мужчин. Для второй группы нужно выбрать 5 человек из 12:

C(12, 5) = 12! / (5! * (12 - 5)!) = 12! / (5! * 7!) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 792.

Осталось 7 мужчин, которые пойдут в третью группу. В данном случае, так как все оставшиеся мужчины уже заняты, перестановки не нужны.

Теперь, чтобы найти общее количество способов разделить 15 мужчин на три группы, мы умножаем количество способов для каждой группы:

Общее количество способов = 455 * 792 * 1 = 360,360.

Ответ: 360,360 способов.

2. Найдем предел функции lim(x → 2) [(2x^2 + 2x - 12) / (3x^2 - 3x - 6)] * [(x^2 - 5x + 6) / (3x^2 - 9x + 6)].

Для начала, давайте упростим каждую из дробей:

a) Упростим (2x^2 + 2x - 12) / (3x^2 - 3x - 6): Выносим общий множитель из числителя и знаменателя: (2x^2 + 2x - 12) / (3x^2 - 3x - 6) = 2(x^2 + x - 6) / 3(x^2 - x - 2). Теперь факторизуем числитель и знаменатель: (2x^2 + 2x - 12) / (3x^2 - 3x - 6) = 2(x + 3)(x - 2) / 3(x - 2)(x + 1). Сокращаем (x - 2) в числителе и знаменателе: (2x^2 + 2x - 12) / (3x^2 - 3x - 6) = 2(x + 3) / 3(x + 1).

b) Упростим (x^2 - 5x + 6) / (3x^2 - 9x + 6): Выносим общий множитель из числителя и знаменателя: (x^2 - 5x + 6) / (3x^2 - 9x + 6) = (x^2 - 5x + 6) / 3(x^2 - 3x + 2). Теперь факторизуем числитель и знаменатель: (x^2 - 5x + 6) / (3x^2 - 9x + 6) = (x - 2)(x - 3) / 3(x - 2)(x - 1). Сокращаем (x - 2) в числителе и знаменателе: (x^2 - 5x + 6) / (3x^2 - 9x + 6) = (x - 3) / 3(x - 1).

Теперь, когда мы упростили обе дроби, подставим значения x = 2 в каждую из них:

a) Подставим x = 2 в 2(x + 3) / 3(x + 1): 2(2 + 3) / 3(2 + 1) = 2(5) / 3(3) = 10 / 9.

b) Подставим x = 2 в (x - 3) / 3(x - 1): (2 - 3) / 3(2 - 1) = -1 / 3.

Теперь вычислим предел итоговой функции, умножив результаты:

lim(x → 2) [(2x^2 + 2x - 12) / (3x^2 - 3x - 6)] * [(x^2 - 5x + 6) / (3x^2 - 9x + 6)] = lim(x → 2) [10 / 9] * [-1 / 3] = -10 / 27.

Ответ: Предел функции при x → 2 равен -10 / 27.

3. Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 2 и y = 2x - x^2/2 + 6, нужно найти точки пересечения этих двух кривых и вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения:

y = x + 2, y = 2x - x^2/2 + 6.

Приравняем выражения для y и решим уравнение:

x + 2 = 2x - x^2/2 + 6.

Приведем уравнение к квадратичной форме:

x^2/2 - x - 4 = 0.

Теперь решим уравнение, используя квадратное уравнение или методы факторизации:

x^2 - 2x - 8 = 0.

Факторизуем