Question

Высота AH и биссектриса BL в треугольнике ABC пересекаются в точке К. При этом AK = 4, KH = 2, BL = 11. Найти длину стороны BC

Answer 1

По свойству биссектрис: BH/AB=KH/AK = 1/2; Значит ∠B=60°; ∠BAH = 30°, ∠ABK = 30° ⇔ BK=AK=4. Тогда KL=7; Проведем еще одну высоту к стороне BC. Обозначим ее LT; Из подобия треугольников BKH и BLT имеем: LT/KH = BL/BK = 11/4 ⇔ LT = KH×11/4 = 11/2; Из подобия треугольников LTC и AHC: LT/AH = LC/AC = 11/12; Значит LC/AL = 11; По свойству биссектрис LC/AL = BC/AB = 11 ⇔ BC = 11AB; AB = 6/sin60° = 12/√3=4√3; Значит BC = 44√3

Answer 2

Для решения этой задачи, воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника и подобными треугольниками.

Свойства биссектрисы треугольника:

1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.
2. Точка пересечения биссектрисы с противоположной стороной является точкой деления этой стороны на отрезки, пропорциональные смежным сторонам треугольника.

Обозначим длину стороны BC как x.

По свойствам биссектрисы, можно составить следующие пропорции:

AK/KH = AB/BH (1)

BL/KL = BC/CK (2)

Также из условия задачи известно, что AK = 4 и KH = 2.

Подставим известные значения в уравнение (1):

4/2 = AB/BH

2AB = BH (3)

Теперь подставим известные значения в уравнение (2):

11/KL = x/CK

CK = x * 11/KL (4)

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения KL:

KL^2 = CK^2 + KH^2

KL^2 = (x * 11/KL)^2 + 2^2

KL^2 = 121x^2/KL^2 + 4

KL^4 = 121x^2 + 4KL^2

Перенесем все в левую часть:

KL^4 - 4KL^2 - 121x^2 = 0

Теперь заменим KL на y:

y^4 - 4y^2 - 121x^2 = 0 (5)

Теперь воспользуемся свойством биссектрисы снова:

BL/KL = BC/CK

11/y = x/(x * 11/y)

11/y = 1/y

y = 11

Теперь найдем x из уравнения (5):

11^4 - 4 * 11^2 - 121x^2 = 0

14641 - 484 - 121x^2 = 0

121x^2 = 14157

x^2 = 14157/121

x^2 = 117

x = √117

x ≈ 10.82

Таким образом, длина стороны BC примерно равна 10.82.