Question

Для натуральных чисел m и n докажите неравенство |n*корень(n^2+1) - m| >=корень(2)-1

Answer 1

Начнём мы с того, что докажем $\[|n\sqrt{n^2+1}-m|\geq|n\sqrt{n^2+1}-n^2|\]$. Мы знаем, что $\[n^4 < n^2(n^2+1) < (n^2+1)^2\]$, а значит $\lfloor n\sqrt{n^2+1}\rfloor=n^2$. Тогда, $\left | n\sqrt{n^2+1}-m \right |$ для фиксированного $n$ минимизируется либо при $m=n^2$, либо при $m=n^2+1$. Но

$\[2n^2+1=\sqrt{4n^4+4n^2+1} > \sqrt{4n^4+4n^2}=2n\sqrt{n^2+1}\]$

Тогда $\[n^2+1-n\sqrt{n^2+1} > n\sqrt{n^2+1}-n^2\]$ и, следовательно, $\left | n\sqrt{n^2+1}-m \right |$ минимизируется при $m=n^2$

Теперь мы докажем, что $\left | n\sqrt{n^2+1}-n^2 \right |\geq\sqrt{2}-1$. Заметим, что $n$ возрастает и $\sqrt{n^2+1}-n$ возрастает, поэтому $n\sqrt{n^2+1}-n^2$ также возрастает. Значит, $n\sqrt{n^2+1}-n$ минимизируется при $n=1$, что и требовалось доказать, а значит

$\left | n\sqrt{n^2+1}-m \right |\geq\left | n\sqrt{n^2+1}-n^2 \right |\geq\sqrt{2}-1$

Answer 2

Ну ладно, давайте разберемся с этим. Для начала, приведем утверждение к более читаемому виду.

У нас есть неравенство: $|n \cdot \sqrt{n^2 + 1} - m| \geq \sqrt{2} - 1$.

Давайте разберемся с корнем и попробуем упростить выражение в модуле.

Мы знаем, что $|a| \geq b$ эквивалентно $-b \leq a \leq b$. Так что наше неравенство можно переписать в виде двух неравенств:

1. $n \cdot \sqrt{n^2 + 1} - m \geq \sqrt{2} - 1$
2. $-(n \cdot \sqrt{n^2 + 1} - m) \geq \sqrt{2} - 1$

Теперь давайте поработаем с первым неравенством:

$n \cdot \sqrt{n^2 + 1} - m \geq \sqrt{2} - 1$

Добавим $m$ и выразим корень:

$n \cdot \sqrt{n^2 + 1} \geq m + \sqrt{2} - 1$

Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$n^2 \cdot (n^2 + 1) \geq (m + \sqrt{2} - 1)^2$

Это неравенство может показаться сложным для доказательства, но мы можем продолжить с простыми наблюдениями. Если нам удастся показать, что это верно для всех положительных целых чисел $n$ и $m$, то мы докажем исходное неравенство.

Если вы хотите, я могу продолжить этот процесс или обсудить другие подходы к доказательству.