Question

Найти третий член возрастающей арифметической прогрессии, если известно, что сумма первых трёх её членов равна 27, а сумма их квадратов равна 275

Answer 1

$\begin{cases}a_2=a_1+d\\a_3=a_1+2d\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a_1+a_2+a_3=27\\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=275\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a_1+a_1+a_1+d+2d=27\\a_1^2+\left ( a_1+d \right )^2+\left ( a_1+2d \right )^2=275\end{cases}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \begin{cases}3a_1+3d=27\\a_1^2+\left ( a_1+d \right )^2+\left ( a_1+2d \right )^2=275\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a_1=9-d\\(9-d)^2+18d+d^2+81+81-275=0\end{cases}\Leftrightarrow$$\\\Leftrightarrow \begin{cases}a_1=9-d\\2d^2-23=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a_1=9-d\\d^2=16\end{cases}\Rightarrow d=4\Rightarrow a_1=5\Rightarrow a_3=5+8=13$

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен "a", а разница между членами (шаг прогрессии) равна "d". Тогда второй член прогрессии равен "a + d", а третий член будет "a + 2d".

Мы знаем, что сумма первых трех членов прогрессии равна 27:

a + (a + d) + (a + 2d) = 27

3a + 3d = 27

Теперь давайте рассмотрим сумму квадратов первых трех членов прогрессии:

a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 = 275

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) = 275

Теперь объединим все члены и упростим:

3a^2 + 6ad + 5d^2 = 275

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 3a + 3d = 27
2. 3a^2 + 6ad + 5d^2 = 275

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала поделим оба уравнения на 3:

1. a + d = 9
2. a^2 + 2ad + 5d^2 = 91

Теперь у нас есть два уравнения с двумя переменными (a и d). Мы можем решить первое уравнение относительно "a" и затем подставить его во второе уравнение:

a = 9 - d

Теперь подставим это выражение для "a" во второе уравнение:

(9 - d)^2 + 2(9 - d)d + 5d^2 = 91

Раскроем скобки:

81 - 18d + d^2 + 18d - 2d^2 + 5d^2 = 91

Теперь упростим уравнение:

4d^2 - 2d^2 + d^2 = 91 - 81

d^2 = 10

Теперь найдем значение "d":

d = ±√10

Теперь, когда у нас есть значение "d", мы можем найти "a" с помощью первого уравнения:

a + (√10) = 9

a = 9 - √10

Теперь, когда у нас есть значения "a" и "d", мы можем найти третий член прогрессии (a + 2d):

a + 2d = (9 - √10) + 2√10 ≈ 9 + 2√10

Таким образом, третий член возрастающей арифметической прогрессии при заданных условиях примерно равен 9 + 2√10.