Question

Решить дифференциальные уравнения и найти отдельное решение. cos²(x)*y'+sin²(y)=0, y(π/4)=π/4

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\cos^2(x)y'+\sin^2(y)=0\\\cos^2(x)\dfrac{dy}{dx}=-\sin^2(y)\\-\dfrac{dy}{\sin^2(y)}=\dfrac{dx}{\cos^2(x)}$

На этом этапе отметим, что $y=n\pi,\;n\in\mathbb{Z}$ есть особое решение.

$-\int\dfrac{dy}{\sin^2(y)}=\int\dfrac{dx}{\cos^2(x)}$

$-\int\dfrac{dy}{\sin^2(y)}=\mathrm{ctg}\,y+C_1$

$\int\dfrac{dx}{\cos^2x}=\mathrm{tg}\,x+C_2$

$\mathrm{ctg}\,y=\mathrm{tg}\,x+\widetilde{C}$

Итого решение дифференциального уравнения:

$\mathrm{ctg}\,y=\mathrm{tg}\,x+\widetilde{C},\;y=n\pi,\;n\in\mathbb{Z}$

Подставляем $y=x=\dfrac{\pi}{4}$.

$1=1+\widetilde{C},\;\Rightarrow\;\widetilde{C}=0$

$\mathrm{ctg}\,y=\mathrm{tg}\,x,\;\Rightarrow\;y=\mathrm{arcctg}\,\mathrm{tg}\,x$

Задание выполнено!

Answer 2

Давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение и попробуем его решить.

Дифференциальное уравнение:

cos²(x) * y' + sin²(y) = 0

Для начала давайте разделим обе стороны на cos²(x):

y' + sin²(y) / cos²(x) = 0

Теперь мы видим, что это уравнение можно решить методом разделения переменных. Давайте переместим y' на одну сторону и sin²(y) / cos²(x) на другую:

y' = -sin²(y) / cos²(x)

Теперь мы можем разделить переменные, переместив dy и sin²(y) на одну сторону, а dx и 1 / cos²(x) на другую:

dy / sin²(y) = -dx / cos²(x)

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/sin²(y)) dy = -∫(1/cos²(x)) dx

Интеграл левой стороны может быть упрощен с использованием тригонометрической замены:

Замена: sin(y) = u Тогда: cos(y) dy = du

Интеграл левой стороны становится:

∫(1/u²) cos(y) dy = ∫du/u²

Интеграл правой стороны:

∫(1/cos²(x)) dx = ∫sec²(x) dx

Итак, мы имеем:

∫(1/u²) du = -∫sec²(x) dx

Теперь вычислим интегралы:

-1/u = -tan(x) + C₁

где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь мы можем вернуться к нашей замене и выразить sin(y):

-1/sin(y) = -tan(x) + C₁

Теперь возьмем обратный тангенс с обеих сторон:

sin(y) = 1 / (tan(x) - C₁)

Теперь найдем y:

y = arcsin(1 / (tan(x) - C₁))

Теперь у нас есть общее решение. Чтобы найти конкретное решение с начальным условием y(π/4) = π/4, мы можем подставить x = π/4 в это общее решение и найти C₁:

π/4 = arcsin(1 / (tan(π/4) - C₁))

π/4 = arcsin(1 / (1 - C₁))

Теперь найдем C₁, взяв синус от обеих сторон:

sin(π/4) = 1 / (1 - C₁)

1/√2 = 1 / (1 - C₁)

Теперь найдем C₁:

C₁ = 1 - √2

Итак, конкретное решение с учетом начального условия:

y = arcsin(1 / (tan(x) - (1 - √2)))

Это и есть окончательное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием.