Question

Чему равен наибольший отрицательный корень уравнения sin^2x+0,5sin2x=1 Решение задачи должно содержать обоснование.

Answer 1

Ответ:   $\bf x=-\dfrac{\pi }{2}$   .

Чему равен наибольший отрицательный корень уравнения

$\bf sin^2x+0,5\, sin2x=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin^2x+2\, sinx\cdot cosx=sin^2x+cos^2x\\\\2\, sinx\cdot cosx-cos^2x=0\ \ \ ,\ \ \ cosx\cdot (2\, sinx-cosx)=0$  

$\bf a)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ 2\, sinx-cosx=0\ \Big|:cosx\ne 0\\\\2\, tgx-1=0\ \ ,\ \ tgx=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=arctg\dfrac{1}{2}+\pi k\ \ ,\ \ k\in Z$  

с)  Наибольший отрицательный корень первой серии решений

равен   $\bf x=-\dfrac{\pi }{2}$  .    

Наибольший отрицательный корень второй серии решений

равен   $\bf x=-\pi +arctg\dfrac{1}{2}$  .

Выбираем из них наибольший корень. Это     $\bf x=-\dfrac{\pi }{2}$  .    

Answer 2

Для нахождения наибольшего отрицательного корня уравнения sin^2x + 0,5sin2x = 1, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте введем новую переменную, скажем u, и заменим sin(x) на u. Тогда уравнение примет вид:

u^2 + 0,5u - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно переменной u. Для этого используем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 0.5 и c = -1.

D = (0.5)^2 - 4 * 1 * (-1) = 0.25 + 4 = 4.25

Дискриминант положителен, что означает, что уравнение имеет два действительных корня. Далее, находим сами корни с помощью квадратного корня:

u1 = (-b + √D) / (2a) u2 = (-b - √D) / (2a)

u1 = (-0.5 + √4.25) / 2 = (-0.5 + 2.06) / 2 ≈ 0.78 u2 = (-0.5 - √4.25) / 2 = (-0.5 - 2.06) / 2 ≈ -1.78

Таким образом, мы нашли два значения переменной u: u1 ≈ 0.78 и u2 ≈ -1.78.

Напомним, что мы ввели переменную u как замену для sin(x). Теперь мы можем найти x, используя обратную тригонометрическую функцию арксинус (sin^(-1)):

Для u1: x1 = sin^(-1)(0.78)

Для u2: x2 = sin^(-1)(-1.78)

Однако, арксинус функция определена в интервале [-π/2, π/2], и поскольку мы ищем отрицательные корни, нас интересует только корень, который находится в этом интервале.

Таким образом, x1 будет находиться в интервале [-π/2, π/2], а x2 будет за его пределами.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения sin^2x + 0,5sin2x = 1 будет x2 ≈ -1.78, поскольку x1 не находится в интервале отрицательных корней.