Question

Для яких значень дійсного параметра m многочлен f(x) = 2x^3 − (2 + m) x^2 + (2m + 2) x − m − 2 має три різні дійсні корені x1, x2, x3, які задовольняють умову (1/x1) + (1/x2) + (1/x3) >= 0?

Answer 1

Ответ:

Знайдемо усі можливі значення параметра m, для яких многочлен f(x) має три різні дійсні корені x1, x2, x3.

За теоремою В'єта сума коренів многочлена з коефіцієнтами a, b, c, d дорівнює -b/a, тож сума коренів многочлена f(x) дорівнює (2 + m)/2.

Оскільки x1, x2, x3 є різними коренями многочлена f(x), то їх добуток x1x2x3 дорівнює -m/2.

Оскільки нас цікавить умова (1/x1) + (1/x2) + (1/x3) >= 0, то можемо розглядати два випадки:

1. Усі x1, x2, x3 мають один і той же знак. Тоді їх заміна на протилежні корені многочлена f(x) змінить умову на протилежну, тому можемо припустити, що всі x1, x2, x3 є додатні.

У такому випадку, оскільки x1x2x3 додатній, то всі три корені мають один і той же знак. Тоді sgn(x1) = sgn(x2) = sgn(x3) = +1 і (1/x1) + (1/x2) + (1/x3) >= 0, що еквівалентно x1x2 + x2x3 + x3x1 >= 0.

З теореми В'єта для многочлена f(x) маємо:

x1 + x2 + x3 = (2 + m)/2,

x1x2 + x2x3 + x3x1 = (2m + 2)/2,

x1x2x3 = -m/2.

Тоді sgn(x1) = sgn(x2) = sgn(x3) = +1 еквівалентно:

(x1 + x2 + x3)^2 >= 4x1x2 + 4x2x3 + 4x3x1,

або

(2 + m)^2 >= 8m + 16,

або

m^2 - 12m + 20 <= 0.

З цього нерівності маємо:

(m - 2)(m - 10) <= 0,

тобто -2 <= m <= 10.

2. Якщо серед трьох коренів f(x) є корені з різними знаками, то можна припустити, що x1 < 0 і x2, x3 > 0.

У такому випадку sgn(x1) = -1, sgn(x2) = sgn(x3) = +1, і умова (1/x1) + (1/x2) + (1/x3) >= 0 еквівалентна x2x3(x2 + x3) >= -x1, або (2m + 2)x2x3 >= -2m - 4 - (2 + m)x2x3 - 4x2x3x1.

З теореми В'єта маємо:

x1 + x2 + x3 = (2 + m)/2,

x1x2 + x2x3 + x3x1 = (2m + 2)/2,

x1x2x3 = -m/2.

Тоді x1 < 0 еквівалентно x1 + x2 + x3 < 0, тобто (2 + m)/2 < 0.

Також, оскільки x1 міститься у виразі для x1x2x3, то oскільки x1 < 0 і x2, x3 > 0, маємо x1x2x3 < 0, тобто m > 0.

Далі:

x2x3 = (2m + 2 - x1(x2 + x3))/2,

x1x2 + x2x3 + x3x1 = (2m + 2)/2.

Підставляючи ці вирази в нерівність (2m + 2)x2x3 >= -2m - 4 - (2 + m)x2x3 - 4x2x3x1, отримуємо:

(3 + m) x2x3 + 4x2x3x1 >= 4m + 4.

З 3 + m > 0 і 4x2x3x1 < 0 випливає:

(m - 5) x2x3 > 4m + 4,

тобто x2x3 < -(4m + 4)/(m - 5).

Оскільки x2x3 > 0, то маємо:

-(4m + 4)/(m - 5) < x2x3 < 0.

Записуючи це у вигляді проміжку, ми отримуємо:

-4 < m < 5.

Отже, об'єднуючи обидва випадки, ми отримуємо, що многочлен f(x) має три різні дійсні корені x1, x2, x3, що задовольняють умову (1/x1) + (1/x2) + (1/x3) >= 0, тоді і лише тоді, коли параметр m є проміжку:

-2 <= m <= 5.

Відповідь: -2 <= m <= 5.

Answer 2

Ответ:

m<-2 и m>4+4√2

Пошаговое объяснение:

Смотри на фото...

UPD: нашёл ошибку в моменте x1≠x3 и x2≠x3, исправляю:

x=1: 2-m+m+2=0

4=0, неверное тождество, таких m, что x1=1 или x2=1 нет

Answer 3

Для того, щоб знайти значення параметра `m`, для якого многочлен `f(x) = 2x^3 - (2 + m)x^2 + (2m + 2)x - m - 2` має три різні дійсні корені `x1`, `x2`, `x3`, які задовольняють умову `(1/x1) + (1/x2) + (1/x3) >= 0`, спершу потрібно з'ясувати, коли сума обернених значень коренів буде невід'ємною.

Це буде виконуватися тоді, коли сума обернених значень коренів не буде дорівнювати `-1`. Це відбувається, коли сума коренів не дорівнює нулю.

Першим кроком буде знаходження коренів многочлена. Це можна зробити за допомогою формули Кубічного рівняння.

Потім, використовуючи знайдені корені, перевіряємо умову `(1/x1) + (1/x2) + (1/x3) >= 0`. Якщо вона виконується, то параметр `m` задовольняє умову.

Оскільки ми шукаємо значення параметра `m`, для якого многочлен має три різні дійсні корені, ми повинні перевірити умову для різних значень `m`.

На жаль, без використання спеціалізованого програмного забезпечення або комп'ютерного алгоритму, це може бути досить складно виконати вручну.