Question

Дійсні числа x і y задовольняють умову 2x - 3y=13. Доведіть що x2 + y2 >= 13

Answer 1

$2x - 3y=13$

$2x=13+3y\ \ \ |:2$

$x=6,5-1,5y$

$x^2 + y^2 \ge 13$

$(6,5-1,5y)^2+y^2-13 \ge 0$

$2,25y^2 - 19,5y + 42,25+y^2-13 \ge 0$

$3,25y^2 - 19,5y + 29,25 \ge 0\ \ \ |\cdot4$

$13y^2-78y+117 \ge 0\ \ \ |:13$

$y^2-6y+9 \ge 0$

$(y-3)^2 \ge 0$

Answer 2

Для доведення нерівності x^2 + y^2 ≥ 13, спочатку давайте використаємо дану умову 2x - 3y = 13, щоб виразити одну зі змінних через іншу.

Маємо 2x - 3y = 13. Звідси можемо виразити x:

2x = 3y + 13, x = (3y + 13) / 2.

Тепер підставимо це вираз для x у рівняння x^2 + y^2 ≥ 13:

(x^2 + y^2) ≥ 13, ((3y + 13) / 2)^2 + y^2 ≥ 13, (9y^2 + 78y + 169) / 4 + y^2 ≥ 13, 9y^2 + 78y + 169 + 4y^2 ≥ 52, 13y^2 + 78y + 117 ≥ 52, 13y^2 + 78y + 65 ≥ 0.

Тепер давайте розглянемо дискримінант квадратного рівняння 13y^2 + 78y + 65:

D = b^2 - 4ac, D = 78^2 - 4 * 13 * 65, D = 6084 - 3380, D = 2704.

Дискримінант додатній, тобто рівняння 13y^2 + 78y + 65 = 0 має два різних дійсних корені, а отже, коефіцієнт при y^2 додатній. Це означає, що парабола, задана цим квадратним рівнянням, відкривається вгору.

Оскільки парабола відкривається вгору і її дискримінант позитивний, то функція 13y^2 + 78y + 65 дорівнює або більше нуля на всьому дійсному проміжку. Тобто:

13y^2 + 78y + 65 ≥ 0.

Отже, ми довели, що нерівність x^2 + y^2 ≥ 13 справедлива для дійсних чисел x і y, задовольняючи умову 2x - 3y = 13.