Question

Відомо, що корені квадратного рівняння ×2 _ 4× + р =0 задовольняють умову 2×1 + ×2 = 1. Знайти корені рівняння та значення р.

Answer 1

Можемо скористатись формулою коренів квадратного рівняння:

x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

За умовою задачі маємо систему:

x1 + x2 = -(-4) / 1 = 4

x1 * x2 = 1

Знайдемо x1 та x2 як корені рівняння:

x^2 - 4x + 1 = 0

a = 1, b = -4, c = 1

x1,2 = (4 ± √(4^2 - 411)) / (2*1) = 2 ± √3

Таким чином, ми маємо два корені: x1 = 2 + √3 та x2 = 2 - √3.

Знайдемо значення р:

p = x1 * x2 = (2 + √3)(2 - √3) = 4 - 3 = 1

Отже, корені рівняння x^2 - 4x + 1 = 0 дорівнюють 2 + √3 та 2 - √3, а значення p дорівнює 1.

Answer 2

Для знаходження коренів квадратного рівняння x^2 - 4x + р = 0 спочатку знайдемо дискримінант і використаємо умову 2x1 + x2 = 1, щоб отримати систему рівнянь.

Дискримінант D квадратного рівняння виглядає так:

D = b^2 - 4ac,

де a = 1, b = -4 і c = р. Тоді D = (-4)^2 - 4(1)(р) = 16 - 4р.

За умовою задачі маємо 2x1 + x2 = 1. Замінимо x1 на корінь x1, а x2 на корінь x2:

2x1 + x2 = 1

Зараз можна підставити x1 і x2 умову у систему:

2√D + √D = 1

Знаючи вираз для D (D = 16 - 4р), підставимо його:

2√(16 - 4р) + √(16 - 4р) = 1

Тепер розв'яжемо це рівняння для р. Спростимо ліву сторону:

2√(16 - 4р) + √(16 - 4р) = 1

Згрупуємо подібні доданки:

3√(16 - 4р) = 1

Тепер поділимо обидві сторони на 3:

√(16 - 4р) = 1/3

Тепер піднесемо обидві сторони до квадрата, щоб позбавитися від кореня:

16 - 4р = (1/3)^2

16 - 4р = 1/9

Тепер віднімемо 16 від обох сторін:

-4р = 1/9 - 16

-4р = 1/9 - 144/9

-4р = -143/9

Тепер поділимо обидві сторони на -4, щоб знайти значення р:

р = (-143/9) / (-4)

р = (143/9) * (1/4)

р = 143/36

Таким чином, значення р дорівнює 143/36, і тепер ми можемо знайти корені квадратного рівняння x^2 - 4x + р = 0. Для цього підставимо значення р у формулу для дискримінанту D:

D = 16 - 4р = 16 - 4 * (143/36) = 16 - 143/9 = (144/9) - (143/9) = 1/9

Дискримінант D дорівнює 1/9, тож тепер ми можемо знайти корені x1 і x2 за допомогою квадратного рівняння:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (4 + √(1/9)) / 2 = (4 + 1/3) / 2 = (13/3) / 2 = 13/6

x2 = (-b - √D) / (2a) = (4 - √(1/9)) / 2 = (4 - 1/3) / 2 = (11/3) / 2 = 11/6

Отже, корені квадратного рівняння x^2 - 4x + р = 0 дорівнюють x1 = 13/6 і x2 = 11/6, а значення р дорівнює 143/36.