Question

Доказать, что функция не имеет предела в точке x = 1

Answer 1

$f(x)=\dfrac{x^3-2x+1}{x^2-2x+1}=\dfrac{x^3-x^2+x^2-2x+1}{x^2-2x+1}=\dfrac{x^3-x^2}{x^2-2x+1}+1=\dfrac{x^2(x-1)}{(x-1)^2}+1\\ \lim\limits_{n\to 1-0}\dfrac{x^2(x-1)}{(x-1)^2}+1=\lim\limits_{n\to 1-0}\dfrac{x^2}{(x-1)}+1=[1/-0]=-\infty\\ \lim\limits_{n\to 1+0}\dfrac{x^2}{(x-1)}+1=\lim\limits_{n\to 1+0}\dfrac{x^2}{(x-1)}+1=[1/+0]=+\infty$

Пределы справа и слева не совпадают - а значит предел в точке не существует.

Ч.т.д.

Answer 2

Чтобы доказать, что функция не имеет предела в точке x = 1, мы можем воспользоваться определением предела и показать, что для данной функции предел не существует.

Определение предела функции: Пусть f(x) - функция, и L - предполагаемый предел функции в точке x = 1. Мы должны показать, что для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x - 1| < δ, выполняется |f(x) - L| < ε.

Давайте рассмотрим функцию f(x) = 1/x. Мы хотим показать, что у неё нет предела в точке x = 1.

Для начала, давайте предположим, что такой предел существует и равен L. Тогда мы можем записать определение предела:

Для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x - 1| < δ, выполняется |1/x - L| < ε.

Теперь давайте рассмотрим, что происходит в окрестности x = 1. Приближаясь к точке x = 1 справа (x > 1), мы имеем:

1. Если x > 1, то |x - 1| > 0, и |1/x - L| = 1/x - L.

Попробуем подобрать такое ε, что для всех x в окрестности x = 1, выполняется |1/x - L| < ε:

1/x - L < ε.

Из этого неравенства следует, что:

1/x < L + ε.

Однако нет ограничения снизу для 1/x в окрестности x = 1, так как 1/x бесконечно возрастает при приближении к нулю. То есть, для любого L + ε, можно найти x в окрестности x = 1 так, что 1/x будет больше L + ε, и тем самым, наше предположение о существовании предела не выполняется.

Таким образом, функция f(x) = 1/x не имеет предела в точке x = 1.