Question

Известен второй дифференциал функции z=f(x, y), вычисленный в стационарной точке М этой функции. d²z(M) = – 5(dx)² + 7 dx dy – (dy)²Выберите один ответ:- без дополнительных исследований нельзя сказать о наличии или отсутствии локального экстремума- в этой точке функция не имеет локального экстремума- в этой точке функция имеет локальный максимум- в этой точке функция имеет локальный минимум

Answer 1

$d^2z(M_0)=-5(dx)^2+7\, dx\, dy-(dy)^2=A(dz)^2+2B\, dx\, dy+(dy)^2\; \; \Rightarrow \\\\A=-5\; ,\; \; B=\frac{7}{2}\; ,\; \; C=-1\\\\\Delta =AC-B^2=5-\frac{49}{4}=-\frac{29}{4}$

Так как   $\Delta$  , то в стационарной точке $M_0$  экстремума нет.

Answer 2

Для определения характера стационарной точки М функции z=f(x, y) по второму дифференциалу d²z(M) = – 5(dx)² + 7dx dy – (dy)², можно воспользоваться методом сигнатур (методом Сильвестра).

Метод сигнатур заключается в анализе знаковых соотношений между элементами второго дифференциала для определения типа локального экстремума в данной точке.

Для этого нужно посмотреть на главные миноры второго дифференциала:

1. Первый главный минор: -5(dx)² = -5 * (положительное число) = отрицательное число.
2. Второй главный минор: -5(dx)² * (dy)² - (7dx dy)² = -5 * (положительное число) - (положительное число) = отрицательное число.

Оба главных минора отрицательны. Это означает, что второй дифференциал является отрицательно определенным в стационарной точке М.

Ответ: В этой точке функция имеет локальный максимум.