Question

Составить дифференциальное уравнение используя физические законы. В электрическую цепь последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону E = V sin ωt, сопротивление R и самоиндукция L. Найти силу тока в цепи. По условию задачи, используя физические или геометрические законы, составить ДУ и задачу Коши;

Answer 1

Ответ: i(t)=V*[R*sin(ω*t)-ω*L*cos(ω*t)]/(R²+ω²*L²)+C*e^(-R/L*t).

Пошаговое объяснение:

По второму правилу Кирхгофа, V*sin ω*t=Ur+Ul, где Ur и Ul - падение напряжения на сопротивлении и ЭДС катушки индуктивности. Но Ur=R*i, а  Ul=L*di/dt, где i - ток в цепи, t - время. Отсюда следует ДУ:

L*i'+R*i-V*sin ω*t=0, которое по сокращении на L можно записать в виде:

i'+R/L*i-V/L*sin ω*t=0. Обозначив R/L=A и V/L=B, окончательно запишем это уравнение в виде i'+A*i-B*sin ω*t=0. Это - однородное ЛДУ 1-го порядка, которое будем решать подстановкой i=u*v, где u и v - неизвестные пока функции времени t. Отсюда i'=u'*v+u*v' и тогда уравнение принимает вид: u'*v+u*v'+A*u*v-B*sin ω*t=0, или v*(u'+A*u)+u*v'-B*sin ω*t=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то поступим так с функцией u и положим,  что u'+A*u=0. Отсюда u'=du/dt=-A*u. Решая это ДУ, находим u=e^(-A*t). Подставляя это выражение в уравнение u*v'-B*sin ω*t=0, приходим к уравнению e^(-A*t)*v'=B*sin ω*t. Умножая теперь обе части на e^(A*t), получаем уравнение v'=dv/dt=B*e^(A*t)*sin ω*t, которое по умножении обоих частей на dt принимает вид dv=B*e^(A*t)*sin(ω*t)*dt. Интегрируя, находим v=B*e^(A*t)*[A*sin ω*t-ω*cos ω*t]/(ω²+A²)+C. Отсюда i=u*v=B*[A*sin ω*t-ω*cos ω*t]/(ω²+A²)+C*e^(-A*t). Заменяя теперь A на R/L и B на V/L, окончательно получаем: i(t)=V*[R*sin(ω*t)-ω*L*cos(ω*t)]/(R²+ω²*L²)+C*e^(-R/L*t).

Для составления задачи Коши используем закон коммутации, согласно которому ток через катушку индуктивности не может измениться мгновенно. Допустим, что цепь была разомкнута и замыкается в момент времени t=0. Тогда i(0)=0, и подставляя это условие в выражение для i(t), приходим к уравнению 0=-V*ω*L/(R²+ω²*L²)+C. Отсюда C=V*ω*L/(R²+ω²*L²) и тогда окончательно

i(t)=V*[R*sin(ω*t)-ω*L*cos(ω*t)]/(R²+ω²*L²)+*V*ω*L*e^(-R/L*t)/(R²+ω²*L²).

Answer 2

Для нахождения силы тока в данной электрической цепи мы можем использовать законы электромагнетизма. Сначала определим напряжение в цепи. Для этого воспользуемся законом Ома:

$V = IR,$

где V - напряжение, I - сила тока, R - сопротивление. В данной цепи у нас есть источник тока с переменным напряжением $E = V \sin \omega t$, сопротивление R и самоиндукция L. Теперь, используя закон самоиндукции:

$V = L \frac{di}{dt},$

где L - коэффициент самоиндукции, i - сила тока. Мы также знаем, что напряжение в цепи определяется изменением тока:

$V = -\frac{d\Phi}{dt},$

где $\Phi$ - магнитный поток. Для катушки с самоиндукцией, магнитный поток связан с силой тока следующим образом:

$\Phi = Li.$

Теперь мы можем объединить эти уравнения и получить дифференциальное уравнение:

$L \frac{di}{dt} = -\frac{d(Li)}{dt} = -L \frac{di}{dt} - Li \frac{d}{dt}.$

Теперь добавим сопротивление R:

$L \frac{di}{dt} + Li \frac{d}{dt} = IR.$

Мы также знаем, что напряжение V определяется как $V = E - IR$, где E - переменное напряжение. Подставив это в уравнение:

$L \frac{di}{dt} + Li \frac{d}{dt} = (V - E).$

Теперь, используя E = $V \sin \omega t$, мы получаем:

$L \frac{di}{dt} + Li \frac{d}{dt} = V(1 - \sin \omega t).$

Это дифференциальное уравнение, описывающее силу тока в данной цепи.

Задача Коши для этого уравнения зависит от начальных условий, таких как начальное значение силы тока $i(0)$ и начальное значение производной $\frac{di}{dt}(0)$ в момент времени $t = 0$.