Question

Исследовать функцию и построить график f(x) =x/(x^2-1)

Answer 1

Дана функция у = x/( x^2 - 1).

1. Разложим знаменатель на множители: y=x/((x-1)(x+1)).

Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R кроме х = 1 и х = -1.

2. Функция f (x) = x/(x2 - 1) непрерывна на всей области определения, кроме точек, в которых она точно не определена (разрыв функции): х = 1 и х = -1.

Область значений функции приведена в пункте 8.

3. Точка пересечения графика функции с осью координат Y:  

График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x/(x2 - 1).

у = 0/(02 - 1) = 0.

Результат: y = 0. Точка: (0; 0).

4. Точки пересечения графика функции с осью координат X:  

График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:  

x/(x2 - 1)= 0

Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:

х = 0,

Результат: y=0. Точка: (0; 0).

5. Экстремумы функции:  

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y' = (1*(х2 - 1))-2х*х)/(х2 - 1)2,

y' = -(х2 + 1))/(х2 - 1)2 = 0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): х2 + 1 = 0,  х2 = -1.

Результат: нет решения.

Функция не имеет экстремумов.

6. Интервалы возрастания и убывания функции:  

С учётом двух точек разрыва функции имеем 3 интервала монотонности функции: (-∞; -1, (-1; 1), (1; ∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -2                -1 0 1     2

y' = -0,55556 - -1 - -0,55556

Экстремумов нет.

На всех промежутках функция убывает.

7. Точки перегибов графика функции:  

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:  

y''=(2x(х2 + 3))/(х2 - 1)3 = 0

Для решения достаточно приравнять нулю числитель уравнения:

           2x(х2 + 3) = 0. Множитель в скобках не может быть равен нулю, только х = 0.

Это и есть точка перегиба графика функции.

Интервалы выпуклости, вогнутости.

Находим знаки второй производной на полученных промежутках.

x = -2      -1   -0,5          0   0,5  1        2

y'' = -1,03704    - 7,703704 0 -7,7037 - 1,037037

 Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:  

Выпуклая на промежутках: (-∞;-1) U (0; 1).

Вогнутая на промежутках: (-1; 0) U (1; +∞).

8. Асимптоты.

Асимтоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

а) Вертикальные асимптоты – определены: х = -1 и х = 1.

б) Горизонтальная асимптота у графика функции определяется при нахождении предела функции на бесконечности:

lim┬(x→±∞)⁡〖(x )/(x^2-1)=(x/x^2 )/(x^2/x^2 -1/x^2 )=0/(1-0)=0.〗

Горизонтальная асимптота – это прямая у = 0 (ось Ох) как предел функции.

С учётом того, что у точек разрыва функции её значение стремится к бесконечности, а при аргументе, стремящемся к бесконечности, функция стремится к нулю, определяем область значений функции: у Є (-∞;  ∞).

в) наклонных асимптот нет. Функция f(x) имеет наклонную асимптоту y = k x + b тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы k и в в уравнении у = kх + в.

〖 k=lim⁡〗┬(           x→±∞)⁡〖(f(x))/x.〗

〖b=lim⁡ 〗┬(         x→±∞)⁡〖[f(x)-kx].〗

Для данной функции первый из этих пределов равен нулю, поэтому наклонная линия не определяется (она совпадает с горизонтальной асимптотой).

8. Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию -  четна или нечетна с помощью соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:  

f(-x)=(-x)/((-x)^2-1)=-2/(x^2-1)≠f(x)=-f(x).

3начит, функция является нечётной.

Таблица точек

 x y

-3.0 -0.375

-2.5 -0.476

-2.0 -0.667

-1.5 -1.2

-1.0 -

-0.5 0.667

0 0

0.5 -0.667

1.0 -

1.5 1.2

2.0 0.667

2.5 0.476

3.0 0.375 .

Answer 2

Давайте исследуем функцию $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$.

1. Найдем область определения: Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, так как деление на ноль неопределено. Таким образом, у нас есть два случая: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \text{ и } x \neq -1.$ Следовательно, область определения функции - все вещественные числа, кроме 1 и -1.

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

   • Когда $x = 0$, $f(0) = 0$.
   • Когда $y = 0$, $x$ не может быть 0, так как это приведет к делению на ноль. Таким образом, у нас нет точек пересечения с осью y.

3. Анализ поведения функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{{x \to \pm\infty}} f(x) = 0.$

4. Анализ производной: Используя правило квотиента, мы можем найти производную: $f'(x) = \frac{(x^2 - 1) - x \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2}.$ Производная равна нулю при $x = \pm 1$, что может указывать на экстремумы.

5. Анализ второй производной: $f''(x) = \frac{-2x(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^3}.$ Знак второй производной меняется при $x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}$, что указывает на точки перегиба.

Теперь давайте построим график. Я использовать Python с библиотекой Matplotlib для построения графика:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции
def f(x):
    return x / (x**2 - 1)

# Генерация значений x
x = np.linspace(-3, 3, 400)
x = x[(x != -1) & (x != 1)]  # Исключаем точки x = -1 и x = 1 из области определения

# Вычисление значений y
y = f(x)

# Построение графика
plt.plot(x, y, label=r'$f(x)=\frac{x}{x^2-1}$')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.title('График функции $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.show()

Этот код создаст график функции в интервале от -3 до 3 с исключением точек $x = -1$ и $x = 1$, так как в этих точках функция не определена.