Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: x=0,x=2,y=0,y=2. (Надо исследовать функцию на границах области и на угловых точках) Напишите подробное решение

Answer 1

$\begin{cases}z'_x=2x-2y-2=0\\z'_y=-2x+5y=0\end{cases}\\x=y+1\\-2y-2+5y=0\\3y=2\\y=\frac{2}{3}\ \ \ \ \ \ x=1\frac{2}{3}$

Данная точка входит в область D, поэтому находим значение в точке.

$z=\frac{25}{9}-\frac{20}{9}+\frac{10}{9}-\frac{30}{9}=-\frac{15}{9}$

Теперь проверяем границы.

$AB:\\x=0;0\leq y\leq2\\z=2,5y^2\\z'=5y=0\\y=0\\z(0;0)=0\ ;z(0;2)=10\\BC:\\y=2;0\leq x\leq2\\z=x^2-6x+10\\z'=2x-4=0\\x=2\\z(0;2)=10\ ;z(2;2)=2\\CD:\\x=2;0\leq y\leq2\\z=-4y+2,5y^2\\z'=-4+5y=0\\y=\frac{4}{5}\\z(2;0)=0\ ;z(2;\frac{4}{5})=-\frac{8}{5}\ ;z(2;2)=2\\AD:\\y=0;0\leq x\leq2\\z=x^2-2x\\z'=2x-2=0\\x=1\\z(0;0)=0\ ;z(1;0)=-1\ ;z(2;0)=0\\\\z_{max}=10\ (0;2)\\z_{min}=-\frac{15}{9}\ (\frac{5}{3};\frac{2}{3})$

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо исследовать функцию на границах области и на угловых точках.

Область в нашем случае задана границами x=0, x=2, y=0, y=2. Значит, нам нужно найти максимальное и минимальное значение функции на этих границах.

1. Граница x=0: Подставляем x=0 в уравнение функции и находим значение y. f(0, y) = 3y^2 - 4y + 1 Данную функцию можно рассматривать как квадратное уравнение относительно y. Найдем вершину параболы для нахождения максимального или минимального значения: y = -b / (2a) = -(-4) / (2*3) = 2/3 Теперь подставим полученное значение y обратно в функцию: f(0, 2/3) = 3*(2/3)^2 - 4*(2/3) + 1 = 4/3 - 8/3 + 1 = -3/3 = -1 Таким образом, на границе x=0 функция принимает минимальное значение равное -1.

2. Граница x=2: Подставляем x=2 в уравнение функции и находим значение y. f(2, y) = 3y^2 - 4y + 1 Исследуем эту функцию как квадратное уравнение, аналогично предыдущему случаю: y = -(-4) / (2*3) = 2/3 Теперь подставим полученное значение y обратно в функцию: f(2, 2/3) = 3*(2/3)^2 - 4*(2/3) + 1 = 4/3 - 8/3 + 1 = -3/3 = -1 Таким образом, на границе x=2 функция принимает минимальное значение равное -1.

3. Граница y=0: Подставляем y=0 в уравнение функции и находим значение x. f(x, 0) = 3*0^2 - 4*0 + 1 f(x, 0) = 1 Таким образом, на границе y=0 функция принимает постоянное значение равное 1.

4. Граница y=2: Подставляем y=2 в уравнение функции и находим значение x. f(x, 2) = 3*2^2 - 4*2 + 1 f(x, 2) = 3*4 - 8 + 1 f(x, 2) = 12 - 8 + 1 f(x, 2) = 5 Таким образом, на границе y=2 функция принимает постоянное значение равное 5.

Теперь необходимо рассмотреть угловые точки.

5. Угол (0, 0): Подставляем x=0 и y=0 в уравнение функции и находим значение f. f(0, 0) = 3*0^2 - 4*0 + 1 f(0, 0) = 1 Таким образом, в точке (0, 0) функция принимает значение 1.

6. Угол (2, 0): Подставляем x=2 и y=0 в уравнение функции и находим значение f. f(2, 0) = 3*2^2 - 4*2 + 1 f(2, 0) = 3*4 - 8 + 1 f(2, 0) = 12 - 8 + 1 f(2, 0) = 5 Таким образом, в точке (2, 0) функция принимает значение 5.

7. Угол (0, 2): Подставляем x=0 и y=2 в уравнение функции и находим значение f. f(0, 2) = 3*0^2 - 4*2 + 1 f(0, 2) = 1 - 8 + 1 f(0, 2) = -6 Таким образом, в точке (0, 2) функция принимает значение -6.

8. Угол (2, 2): Подставляем x=2 и y=2 в уравнение функции и находим значение f. f(2, 2) = 3*2^2 - 4*2 + 1 f(2, 2) = 3*4 - 8 + 1 f(2, 2) = 12 - 8 + 1 f(2, 2) = 5 Таким образом, в точке (2, 2) функция принимает значение 5.

Итак, на границах и угловых точках области функция f(x, y) принимает следующие значения: min(f) = -6 (в точке (0, 2)) max(f) = 5 (в точках (2, 0) и (2, 2))