Question

Найдите наименьшее значение функции y=12cosx+5sinx

Answer 1

Y=12cosx+5sinx=13(12cosx/13+5sinx/13)
Так как $( \frac{12}{13} )^2+( \frac{5}{13} )^2=1$, то  $\frac{12}{13}$ - это синус какого-то угла β, а $\frac{5}{13}$ - его косинус(по основному тригонометрическому тождеству).
Тогда y=13(sinβ*cosx+cosβ*sinx)=13sin(β+x)
Так как -1≤sin(β+x)≤1, то наименьшее значение функции равно 13*(-1)=-13

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = 12\cos(x) + 5\sin(x)$, можно воспользоваться методом нахождения экстремумов функции. Для этого найдем производные функции по $x$ и приравняем их к нулю.

Первая производная функции $y$ по $x$ выглядит следующим образом:

$$\frac{dy}{dx} = -12\sin(x) + 5\cos(x)$$

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

$$-12\sin(x) + 5\cos(x) = 0$$

Для нахождения решения этого уравнения, можно поделить обе стороны на $\sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$, чтобы нормализовать уравнение:

$$-\frac{12}{13}\sin(x) + \frac{5}{13}\cos(x) = 0$$

Теперь можно заметить, что это уравнение соответствует углу $\theta$, где $\sin(\theta) = \frac{12}{13}$ и $\cos(\theta) = \frac{5}{13}$.

Таким образом, минимальное значение функции достигается при $x = \theta$, и это значение можно вычислить подставив $x = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right)$ или $x = \arccos\left(\frac{5}{13}\right)$ в исходную функцию $y = 12\cos(x) + 5\sin(x)$.