Question

Доведіть, що при всіх натуральних значеннях n значення виразу n^3-43n кратне 6

Answer 1

n^3 - 43n=n^3 - n - 42n=n(n^2 - 1) - 42n = n(n - 1)(n + 1) - 42n.

Оскільки добуток n(n - 1)(n + 1) - це добуток трьох послідовних натуральних чисел, то одне з них обов'язково ділиться на 2, а одне - на 3, тому цей добуток ділиться і на 2*3=6. Також вираз 42n, очевидно, ділиться на 6. Звідси слідує, що n(n - 1)(n + 1) - 42n ділиться націло на 6, а отже, і n^3 - 43n ділиться націло на 6.

Answer 2

Для доведення того, що для всіх натуральних значень n вираз n^3 - 43n є кратним 6, ми можемо використовувати метод математичної індукції.

Математична індукція - це метод доведення, який включає два кроки:

1. Базовий крок: Показуємо, що вираз задовольняє властивість для певного початкового значення n (зазвичай n = 1).
2. Крок індукції: Показуємо, що якщо вираз задовольняє властивість для деякого n = k, то він також задовольняє властивість для n = k + 1.

Базовий крок: Для n = 1: n^3 - 43n = 1^3 - 43 * 1 = 1 - 43 = -42. -42 не ділиться на 6, але -42 = 6 * (-7), тобто ділиться на 6.

Крок індукції: Припустимо, що для деякого n = k вираз n^3 - 43n кратний 6, тобто n^3 - 43n = 6m, де m - це ціле число.

Тепер ми повинні показати, що вираз також буде кратним 6 для n = k + 1. Розглянемо вираз для n = k + 1:

(n + 1)^3 - 43(n + 1)

Розгортаємо (n + 1)^3: (n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1

Тепер підставимо це у вираз: (n + 1)^3 - 43(n + 1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 43(n + 1)

Розгортаємо і спростимо вираз:

n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 43n - 43

Тепер об'єднаємо деякі члени:

(n^3 - 43n) + 3n^2 + 3n - 42

Ми вже знаємо, що n^3 - 43n кратний 6, тобто n^3 - 43n = 6m. Також помітно, що 3n^2 + 3n - 42 є кратним 6, оскільки кожен з цих членів містить 3, і 3 помножити на будь-яке ціле число завжди дасть кратне 6 число.

Отже, (n^3 - 43n) + 3n^2 + 3n - 42 є кратним 6.

Отже, за припущенням і базовим кроком, ми довели, що n^3 - 43n кратний 6 для всіх натуральних значень n, використовуючи метод математичної індукції.