Question

Даю 37 б Доведіть, що: 1) що вираз х²-4х + 5 набуває лише додатних значень при будь-яких значеннях х 2) при кожному цілому к значення виразу (k+5) (k²-к+1)-k (k+2)²+3 ділиться на 8: 3) значення виразу 8^25 - 64^12 ділиться на 7. 6.Знайдіть найменше значення виразу: 1)x² + 8х+ 16; 2) x² + 8х + 17. При яких значеннях х вираз набуває найменшого значення?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)Для довільного значення х виконається:

х² - 4х + 5 = (х-2)² + 1

Вираз (х-2)² завжди буде не менше 0, тому найменше значення виразу (х-2)²+1 буде 1. Таким чином, х²-4х+5 набуває лише додатних значень при будь-яких значеннях х.

2)Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз:

(k+5)(k²-k+1) - k(k+2)² + 3 = k³ + 2k² - 6k + 15

Звертаємо увагу на те, що для будь-якого цілого k, k³ + 2k² - 6k + 15 буде парним числом. Дійсно, якщо k - парне число, то k³, 2k² та 6k будуть парними, а отже, сума k³ + 2k² - 6k також буде парним числом. Якщо k - непарне число, то k³ та 6k будуть непарними, а 2k² буде парним, тому сума k³ + 2k² - 6k знову буде парним числом. Оскільки будь-яке парне число ділиться на 8, то й наш вираз буде ділитися на 8 для будь-якого цілого k.

3)$8^{25}$ - $64^{12}$ = $(8^{2})^{12}$ - $64^{12}$ =  $64^{12}$  -  $64^{12}$  = 0 (за ідеєю формули a²-b² = (a+b)(a-b)).

Таким чином, значення виразу $8^{25}$ - $64^{12}$ ділиться на будь-яке число, включаючи 7.

6.
1)x² + 8x + 16 = (x+4)². Цей вираз має найменше значення 0, якщо x = -4.

2)x² + 8x + 17 = (x+4)² + 1. Цей вираз має найменше значення 1, якщо x = -4.

Answer 2

Давайте розглянемо кожен пункт окремо:

1. Щоб довести, що вираз $x^2 - 4x + 5$ набуває лише додатних значень для будь-яких значень $x$, давайте розглянемо дискримінант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4.$

Оскільки дискримінант від'ємний ($D < 0$), то квадратний трином не має дійсних коренів. Це означає, що $x^2 - 4x + 5$ не може дорівнювати нулю для жодного значення $x$, і, отже, воно завжди більше нуля.

2. Розглянемо вираз $(k+5) (k^2 - k + 1) - k (k+2)^2 + 3$. Для спрощення розглянемо кожен член окремо:

$k+5,$ $k^2 - k + 1,$ $-k (k+2)^2,$ $3.$

Давайте доведемо, що кожен з цих членів кратний 8:

• $k+5$ - Цей член не завжди кратний 8. Наприклад, якщо $k = 1$, то $k+5 = 6$ не кратне 8.

• $k^2 - k + 1$ - Цей член також не завжди кратний 8. Наприклад, якщо $k = 2$, то $k^2 - k + 1 = 4$ не кратне 8.

• $-k (k+2)^2$ - Цей член завжди кратний 8, оскільки містить $k$ і $k+2$ (одне з них завжди кратне 2), а також добуток на $k$, який завжди кратний 8.

• $3$ - Цей член не кратний 8.

Загалом, не всі члени виразу кратні 8. Отже, вираз не завжди ділиться на 8.

3. Знайдемо значення виразу $8^{25} - 64^{12}$ і подивимося, чи воно ділиться на 7.

$8^{25} - 64^{12} = 2^{75} - 2^{36 \cdot 2} = 2^{75} - 2^{72}.$

Тепер розглянемо вираз $2^{72} (2^3 - 1)$, де $2^3 - 1 = 7$. Оскільки $2^{72}$ кратне $2^3 - 1 = 7$, то вираз $8^{25} - 64^{12}$ також кратний 7.

4. Щоб знайти найменше значення виразу $x^2 + 8x + 16$, скористаємося завданням диференціювати його відносно $x$ і прирівняти до нуля:

$2x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4.$

Тепер підставимо $x = -4$ у вираз:

$(-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0.$

Отже, найменше значення виразу $x^2 + 8x + 16$ дорівнює 0 і досягається при $x = -4$.

5. Тепер розглянемо вираз $x^2 + 8x + 17$. Щоб знайти його найменше значення, спробуємо аналогічний метод:

$2x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4.$

Тепер підставимо $x = -4$ у вираз:

$(-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 17 = 16 - 32 + 17 = 1.$

Отже, найменше значення виразу $x^2 + 8x + 17$ дорівнює 1 і досягається при $x = -4$.