Question

Найти первые и вторые частные производные: z=arctg(xy).

Answer 1

$z=arctg(xy)\\\\z'_{x}=\frac{1}{1+(xy)^2}\cdot y=\frac{y}{1+x^2y^2}\\\\z'_{y}=\frac{x}{1+x^2y^2}\\\\z''_{xx}=y\cdot \frac{-y^2\cdot 2x}{(1+x^2y^2)^2}=-\frac{2xy^3}{(1+x^2y^2)^2}\\\\z''_{xy}=\frac{1+x^2y^2-y\cdot x^2\cdot 2y}{(1+x^2y^2)^2}=\frac{1-x^2y^2}{(1+x^2y^2)^2}\\\\z''_{yy}=x\cdot \frac{-x^2\cdot 2y}{(1+x^2y^2)^2}=-\frac{2x^3y}{(1+x^2y^2)^2}$

Answer 2

Для нахождения первых и вторых частных производных функции z = arctg(xy) по x и y, мы можем использовать правила дифференцирования для функций с использованием цепного правила.

Давайте начнем с нахождения первой частной производной по x (∂z/∂x):

z = arctg(xy)

Для этого используем цепное правило:

∂z/∂x = ∂(arctg(xy))/∂x = 1 / (1 + (xy)^2) * ∂(xy)/∂x

Теперь найдем производную xy по x:

∂(xy)/∂x = y

Теперь подставим это значение обратно в формулу для ∂z/∂x:

∂z/∂x = 1 / (1 + (xy)^2) * y

Теперь давайте найдем первую частную производную по y (∂z/∂y):

∂z/∂y = ∂(arctg(xy))/∂y = 1 / (1 + (xy)^2) * ∂(xy)/∂y

Теперь найдем производную xy по y:

∂(xy)/∂y = x

Теперь подставим это значение обратно в формулу для ∂z/∂y:

∂z/∂y = 1 / (1 + (xy)^2) * x

Теперь у нас есть первые частные производные ∂z/∂x и ∂z/∂y. Давайте теперь найдем вторые частные производные.

Для второй частной производной по x (∂²z/∂x²), мы можем снова использовать цепное правило:

∂(∂z/∂x)/∂x = ∂(1 / (1 + (xy)^2) * y)/∂x

= ∂(1 / (1 + (xy)^2))/∂x * y + 1 / (1 + (xy)^2) * ∂y/∂x

Теперь найдем производную (1 / (1 + (xy)^2)) по x:

∂(1 / (1 + (xy)^2))/∂x = -2xy / (1 + (xy)^2)^2

И производную y по x равной 0, так как y не зависит от x.

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для ∂²z/∂x²:

∂(∂z/∂x)/∂x = -2xy / (1 + (xy)^2)^2 * y

Теперь давайте найдем вторую частную производную по y (∂²z/∂y²):

∂(∂z/∂y)/∂y = ∂(1 / (1 + (xy)^2) * x)/∂y

= ∂(1 / (1 + (xy)^2))/∂y * x + 1 / (1 + (xy)^2) * ∂x/∂y

Теперь найдем производную (1 / (1 + (xy)^2)) по y:

∂(1 / (1 + (xy)^2))/∂y = -2xy / (1 + (xy)^2)^2

И производную x по y равной 0, так как x не зависит от y.

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для ∂²z/∂y²:

∂(∂z/∂y)/∂y = -2xy / (1 + (xy)^2)^2 * x

Таким образом, мы нашли первые и вторые частные производные функции z = arctg(xy):

∂z/∂x = 1 / (1 + (xy)^2) * y ∂z/∂y = 1 / (1 + (xy)^2) * x

∂²z/∂x² = -2xy / (1 + (xy)^2)^2 * y ∂²z/∂y² = -2xy / (1 + (xy)^2)^2 * x