Question

Найти частные производные и частные дифференциалы,по примерам в интернете ничего не понятно z=arctg(x^2+y^2)

Answer 1

z=arctg(x^2+y^2)
находим частную производную по x, y считаем постоянной
dz/dx=arctg(x^2+y^2)`=(x^2+y^2)`*arctg(x^2+y^2)`=2x/((x^2+y^2)^2+1)
находим частную производную по y, x считаем постоянной
dz/dy=arctg(x^2+y^2)`=(x^2+y^2)`*arctg(x^2+y^2)`=2y/((x^2+y^2)^2+1)
 частные дифференциалы 
dx*2x/((x^2+y^2)^2+1)
dy*2y/((x^2+y^2)^2+1)

Answer 2

Хорошо, давайте разберемся с частными производными и частными дифференциалами функции z = arctan(x^2 + y^2).

Частная производная функции по переменной x обозначается как dz/dx, а по переменной y как dz/dy.

1. Частная производная по x (dz/dx): Для нахождения частной производной по x, считаем x как переменную, а y как константу. Таким образом, получим: z = arctan(x^2 + y^2) dz/dx = d(arctan(x^2 + y^2))/dx

Чтобы продолжить, мы должны применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит:

Если у нас есть функция u = f(g(x)), то производная du/dx равна произведению производной функции f(g(x)) по её аргументу g(x) на производную функции g(x) по x, т.е. du/dx = f'(g(x)) * g'(x).

В нашем случае, f(u) = arctan(u), а u = x^2 + y^2. Производная arctan(u) равна 1 / (1 + u^2). Таким образом:

dz/dx = d(arctan(x^2 + y^2))/dx = 1 / (1 + (x^2 + y^2)^2) * d(x^2 + y^2)/dx

Теперь продифференцируем x^2 + y^2 по x: d(x^2 + y^2)/dx = 2x.

Таким образом, окончательное выражение для частной производной по x будет:

dz/dx = 2x / (1 + (x^2 + y^2)^2)

2. Частная производная по y (dz/dy): Теперь рассмотрим y как переменную, а x как константу: z = arctan(x^2 + y^2) dz/dy = d(arctan(x^2 + y^2))/dy

Мы знаем, что производная arctan(u) равна 1 / (1 + u^2). В данном случае, u = x^2 + y^2. Тогда:

dz/dy = d(arctan(x^2 + y^2))/dy = 1 / (1 + (x^2 + y^2)^2) * d(x^2 + y^2)/dy

Теперь продифференцируем x^2 + y^2 по y: d(x^2 + y^2)/dy = 2y.

Таким образом, окончательное выражение для частной производной по y будет:

dz/dy = 2y / (1 + (x^2 + y^2)^2)

Теперь давайте рассмотрим частные дифференциалы. Частный дифференциал функции z по переменным dx и dy обозначается как dz = dz/dx * dx + dz/dy * dy.

Частные дифференциалы для данной функции будут:

dz = dz/dx * dx + dz/dy * dy dz = (2x / (1 + (x^2 + y^2)^2)) * dx + (2y / (1 + (x^2 + y^2)^2)) * dy

Надеюсь, это помогло вам понять частные производные и дифференциалы функции z = arctan(x^2 + y^2). Если у вас возникли дополнительные вопросы или что-то неясно, пожалуйста, дайте знать!