Question

Найти частные производные и частные дифференциалы функции z=arcctg(xy^2)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Давайте начнем с нахождения частных производных функции $z = \text{arcctg}(xy^2)$ по переменным $x$ и $y$.

Первая частная производная по $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \text{arcctg}(xy^2) \right)$

Для вычисления этой производной воспользуемся цепным правилом дифференцирования и производной арккотангенса: $\frac{d}{dx} \left( \text{arcctg}(u) \right) = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$

Здесь $u = xy^2$, поэтому: $\frac{du}{dx} = y^2$ $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{1+(xy^2)^2} \cdot y^2 = -\frac{y^2}{1+x^2y^4}$

Теперь вторая частная производная по $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \text{arcctg}(xy^2) \right)$

Аналогично, используем цепное правило и производную арккотангенса: $\frac{d}{dy} \left( \text{arcctg}(u) \right) = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dy}$

$\frac{du}{dy} = 2xy$ $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{1+(xy^2)^2} \cdot 2xy = -\frac{2xy}{1+x^2y^4}$

Теперь, чтобы найти частные дифференциалы, умножим частные производные на соответствующие дифференциалы переменных $dx$ и $dy$:

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$ $dz = -\frac{y^2}{1+x^2y^4} dx - \frac{2xy}{1+x^2y^4} dy$

Это и есть частные дифференциалы функции $z$ по переменным $x$ и $y$.