Question

Определите вид треугольника, если его вершины точки A(1;-2;3), B(2;1;0). C(1;-1;2).

Answer 1

Ответ: ∆АВС тупоугольный.
Решение прилагаю.

Answer 2

Найдём длины всех сторон треугольника.
$AB= \sqrt{(2-1)^2+(1+2)^2+(0-3)^2} = \sqrt{1+9+9} = \sqrt{19} \\ AC= \sqrt{(1-1)^2+(-1+2)^2+(2-3)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2} \\ BC= \sqrt{(1-2)^2+(-1-1)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9}=3$
 
AB² = 19
BC² + AC² = 9 + 2 = 11
19 > 11   ⇒   AB² > BC² + AC²   ⇒   ΔABC - тугоугольный

Answer 3

Для определения вида треугольника, сформируем векторы, соединяющие вершины A, B и C, а затем рассмотрим углы между этими векторами.

Вектор AB можно найти вычитанием координат точки A из координат точки B: AB = B - A = (2 - 1, 1 - (-2), 0 - 3) = (1, 3, -3).

Вектор AC можно найти вычитанием координат точки A из координат точки C: AC = C - A = (1 - 1, (-1) - (-2), 2 - 3) = (0, 1, -1).

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC: AB · AC = (1 * 0) + (3 * 1) + (-3 * (-1)) = 0 + 3 + 3 = 6.

Теперь найдем длины векторов AB и AC: |AB| = √(1^2 + 3^2 + (-3)^2) = √(1 + 9 + 9) = √19, |AC| = √(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = √(1 + 1) = √2.

Теперь вычислим косинус угла между векторами AB и AC с помощью формулы для скалярного произведения векторов и их длин: cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) = 6 / (√19 * √2) = 6 / (√(19 * 2)) = 6 / (√38).

Теперь определим вид треугольника на основе значения косинуса угла θ:

1. Если cos(θ) > 0, то угол θ острый, и треугольник остроугольный.
2. Если cos(θ) = 0, то угол θ прямой, и треугольник прямоугольный.
3. Если cos(θ) < 0, то угол θ тупой, и треугольник тупоугольный.

Так как значение cos(θ) равно 6 / (√38), и это положительное значение, то угол θ острый, и треугольник является остроугольным.