Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций. Сделайте чертеж. y=x^2+5x+4 и y=-x-1

Answer 1

Решение на листке ===>>

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 5x + 4 и y = -x - 1, нужно найти точки их пересечения и затем найти интеграл разности между этими двумя функциями в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций:

1. Приравняем выражения для y и решим уравнение:

x^2 + 5x + 4 = -x - 1

Сгруппируем все члены в левой части уравнения:

x^2 + 6x + 5 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения с использованием квадратного уравнения или факторизации:

(x + 1)(x + 5) = 0

Отсюда получаем два корня:

x1 = -1 x2 = -5

2. Теперь у нас есть точки пересечения x = -1 и x = -5. Теперь найдем соответствующие значения y для обеих функций в этих точках:

Для y = x^2 + 5x + 4: y1 = (-1)^2 + 5*(-1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0

y2 = (-5)^2 + 5*(-5) + 4 = 25 - 25 + 4 = 4

Для y = -x - 1: y1 = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0

y2 = -(-5) - 1 = 5 - 1 = 4

Теперь у нас есть четыре точки: (-1, 0), (-5, 4), (-1, 0) и (-5, 4).

3. Для построения графика и вычисления площади нам нужно найти интеграл разности между этими двумя функциями в пределах точек x = -5 и x = -1:

∫[x=-5 to x=-1] [(x^2 + 5x + 4) - (-x - 1)] dx

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

∫[x=-5 to x=-1] [(x^2 + 5x + 4) + x + 1] dx ∫[x=-5 to x=-1] (x^2 + 6x + 5) dx

Теперь найдем интеграл:

∫[x=-5 to x=-1] (x^2 + 6x + 5) dx = [x^3/3 + 3x^2 + 5x] from -5 to -1

Теперь подставим пределы интегрирования:

= [(-1)^3/3 + 3(-1)^2 + 5(-1)] - [(-5)^3/3 + 3(-5)^2 + 5(-5)] = [(-1)/3 + 3 + (-5)] - [(-125/3) + 75 - 25]

= (-1/3 - 2) - (-125/3 + 50) = -7/3 + 125/3 - 50 = 118/3 - 50

Теперь вычислим это численно:

= (118/3 - 150/3) = -32/3

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 5x + 4 и y = -x - 1 в пределах от x = -5 до x = -1, равна -32/3 или приближенно -10.67 квадратных единиц.