Question

<p>помогите решить cos3x*sin3x=1/2</p>

Answer 1

/$##@#$$#@#$#@@#$@@

Answer 2

Для решения уравнения $\cos(3x) \cdot \sin(3x) = \frac{1}{2}$ мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Сначала давайте воспользуемся формулой произведения для $\sin(2\theta)$:

$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta).$

Используя эту формулу для $\theta = 3x$, у нас есть:

$\sin(6x) = \sin(2 \cdot 3x) = 2\sin(3x)\cos(3x).$

Теперь мы можем переписать начальное уравнение как:

$2\sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{2}.$

Теперь давайте введем новую переменную $u = \sin(3x)$. Тогда у нас есть:

$2u\cos(3x) = \frac{1}{2}.$

Мы также знаем, что $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$. Применяя это к $3x$, мы имеем:

$\cos^2(3x) + \sin^2(3x) = 1.$

Используя тригонометрическую тождества $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ и $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$, мы можем переписать это как:

$2\cos^2(3x) - 1 + 2u^2 = 1.$

Теперь подставим значение $2u\cos(3x) = \frac{1}{2}$ из предыдущего уравнения:

$2\cos^2(3x) - 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1.$

Решим это уравнение для $\cos(3x)$. Сначала добавим 1 и $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ к обеим сторонам:

$2\cos^2(3x) - 1 + \frac{1}{4} = 2.$

Теперь упростим:

$2\cos^2(3x) = \frac{7}{4}.$

Разделим на 2:

$\cos^2(3x) = \frac{7}{8}.$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

$\cos(3x) = \pm \sqrt{\frac{7}{8}}.$

Теперь рассмотрим два случая: положительный и отрицательный корень.

1. Для $\cos(3x) = \sqrt{\frac{7}{8}}$:

$3x = \pm \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{7}{8}}\right) + 2\pi k,$

где $k$ - любое целое число.

2. Для $\cos(3x) = -\sqrt{\frac{7}{8}}$:

$3x = \pm \cos^{-1}\left(-\sqrt{\frac{7}{8}}\right) + 2\pi k,$

где $k$ - любое целое число.

Теперь решим уравнения для $x$ в каждом из случаев, поделив обе стороны на 3:

1. Для $\cos(3x) = \sqrt{\frac{7}{8}}$: