Question

Интеграл от1до2 (x+2/x)dx вычислите

Answer 1

$\int\limits^2_1 {x} \, dx + 2\int\limits^2_1 {1/x} \, dx =3/2+2ln(4)$

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла от функции \(\int_1^2 \left(x + \frac{2}{x}\right)dx\), вам нужно вычислить первообразную этой функции, а затем применить теорему Фундаментальной теоремы исчисления.

Итак, начнем с нахождения первообразной:

\[ \int \left(x + \frac{2}{x}\right)dx = \int xdx + \int \frac{2}{x}dx. \]

Далее, вычисляем интегралы:

\[ \int xdx = \frac{1}{2}x^2 + C_1, \]

где \(C_1\) - произвольная постоянная интегрирования.

\[ \int \frac{2}{x}dx = 2\ln|x| + C_2, \]

где \(C_2\) - ещё одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь объединим эти два интеграла:

\[ \int \left(x + \frac{2}{x}\right)dx = \frac{1}{2}x^2 + 2\ln|x| + C, \]

где \(C = C_1 + C_2\) - общая произвольная постоянная.

Теперь мы готовы вычислить определенный интеграл в интервале \([1, 2]\):

\[ \int_1^2 \left(x + \frac{2}{x}\right)dx = \left(\frac{1}{2}(2^2) + 2\ln|2|\right) - \left(\frac{1}{2}(1^2) + 2\ln|1|\right). \]

Упрощаем:

\[ \int_1^2 \left(x + \frac{2}{x}\right)dx = \left(2 + 2\ln(2)\right) - \left(\frac{1}{2} + 2\ln(1)\right). \]

Заметьте, что \(\ln(1) = 0\), поэтому второй член упрощается:

\[ \int_1^2 \left(x + \frac{2}{x}\right)dx = 2 + 2\ln(2) - \frac{1}{2}. \]

Теперь вы можете вычислить значение этого интеграла численно:

\[ \int_1^2 \left(x + \frac{2}{x}\right)dx \approx 2 + 2\ln(2) - \frac{1}{2} \approx 2 + 2(0.6931) - 0.5 \approx 2 + 1.3862 - 0.5 \approx 2.8862. \]

Итак, значение определенного интеграла от \(1\) до \(2\) функции \(\int_1^2 \left(x + \frac{2}{x}\right)dx\) примерно равно \(2.8862\).