Question

1) x²y"+хy' =12)y''-36y' = 36e ^ (6x)СРОЧНО ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!ДАМ 100 БАЛЛОВ

Answer 1

Решение уравнения x²y" + xy' = 1:

Для начала, найдем производную первого порядка от уравнения:

(x²y')' + (xy)' = 0

(x²y')' + xy' + y = 0

Теперь найдем вторую производную от уравнения:

[(x²y')' + xy' + y]' = 0

(x²y")' + (xy')' + y' = 0

(x²y")' + 2xy' + y' = 0

Распишем (x²y")':

2xy' + x²y" + 2y' = 0

x²y" + 2xy' + 2y' = 0

x²y" + 2xy' + 2y' = 0

Теперь объединим выражения:

x²y" + 3xy' + 2y' + y = 0

Разделим на x²:

y" + (3/x)y' + (2/x²)y' + (1/x²)y = 0

Заменим (1/x) на t:

y" + 3ty' + 2ty' + t²y' + t²y = 0

y" + (3t + 2t + t²)y' + t²y = 0

y" + (t³ + 5t)y' + t²y = 0

Теперь полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, которое можно решить стандартными методами.

Решение уравнения y" - 36y' = 36e^(6x):

Сначала найдем характеристическое уравнение:

r² - 36r = 0

r(r - 36) = 0

r₁ = 0, r₂ = 36

Таким образом, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

y_h = C₁e^(0x) + C₂e^(36x)

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, предположим, что y_p принимает вид:

y_p = Ae^(6x)

Тогда:

y_p' = 6Ae^(6x)

y_p" = 36Ae^(6x)

Подставим полученные значения в неоднородное уравнение:

36Ae^(6x) - 36(6Ae^(6x)) = 36e^(6x)

36Ae^(6x) - 216Ae^(6x) = 36e^(6x)

-180Ae^(6x) = 36e^(6x)

A = -1/5

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p = -(1/5)e^(6x)

Окончательное решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = y_h + y_p

y = C₁e^(0x) + C₂e^(36x) - (1/5)e^(6x)

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий или дополнительных ограничений задачи.

Answer 2

Давайте решим эту систему линейных дифференциальных уравнений. У нас есть два уравнения:

1. $x^2y'' + xy' = 12$
2. $y'' - 36y' = 36e^{6x}$

Для начала, мы можем упростить уравнение 2):

$y'' - 36y' = 36e^{6x}$

Заметим, что это линейное неоднородное уравнение второго порядка, и его можно решить методом вариации постоянных.

Для начала, найдем общее решение однородного уравнения:

$y'' - 36y' = 0$

Характеристическое уравнение:

$r^2 - 36r = 0$

Факторизуем:

$r(r - 36) = 0$

Таким образом, у нас есть два корня:

$r_1 = 0$ $r_2 = 36$

Общее решение однородного уравнения:

$y_h(x) = C_1e^{0x} + C_2e^{36x}$

$y_h(x) = C_1 + C_2e^{36x}$

Теперь используем метод вариации постоянных, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения.

Предположим, что частное решение имеет вид $y_p(x) = A(x)e^{6x}$, где $A(x)$ - некоторая функция, которую мы должны найти.

Тогда:

$y_p'(x) = A'(x)e^{6x} + 6A(x)e^{6x}$ $y_p''(x) = A''(x)e^{6x} + 12A'(x)e^{6x} + 36A(x)e^{6x}$

Подставляем это в неоднородное уравнение:

$A''(x)e^{6x} + 12A'(x)e^{6x} + 36A(x)e^{6x} - 36(A'(x)e^{6x} + 6A(x)e^{6x}) = 36e^{6x}$

Упрощаем:

$A''(x)e^{6x} + 12A'(x)e^{6x} + 36A(x)e^{6x} - 36A'(x)e^{6x} - 216A(x)e^{6x} = 36e^{6x}$

Теперь выделяем $e^{6x}$:

$e^{6x}(A''(x) + 12A'(x) - 36A(x) - 36A'(x) + 216A(x)) = 36e^{6x}$

Сокращаем $e^{6x}$ с обеих сторон:

$A''(x) + 12A'(x) - 36A(x) - 36A'(x) + 216A(x) = 36$

Сгруппируем по производным:

$A''(x) + (12-36)A'(x) + (216-36)A(x) = 36$

$A''(x) - 24A'(x) + 180A(x) = 36$

Теперь это уравнение можно решить. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

$A''(x) - 24A'(x) + 180A(x) = 0$

Характеристическое уравнение:

$r^2 - 24r + 180 = 0$

Факторизуем:

$(r-6)(r-30) = 0$

Два корня:

$r_1 = 6$ $r_2 = 30$

Общее решение однородного уравнения:

$A_h(x) = C_3e^{6x} + C_4e^{30x}$

Теперь найдем частное решение. Поскольку правая часть уравнения равна константе 36, то частное решение должно быть константой:

$A_p(x) = K$

Подставим это в уравнение:

$K - 24K + 180K = 36$

$156K = 36$

$K = \frac{36}{156} = \frac{3}{13}$

Итак, мы нашли частное решение $A_p(x) = \frac{3}{13}$.

Теперь общее решение неоднородного уравнения:

$A(x) = A_h(x) + A_p(x) = C_3e^{6x} + C_4e^{30x} + \frac{3}{13}$

Теперь мы можем использовать это решение, чтобы найти $y(x)$:

$y(x) = C_1 + C_2e^{36x} + A(x)$

$y(x) = C_1 + C_2e^{36x} + C_3e^{6x} + C_4e^{30x} + \frac{3}{13}$

Это общее решение системы уравнений. Для получения конкретного решения, вам потребуется использовать начальные условия или дополнительные сведения о задаче.