Question

Найдите точки максимума и минимума функции. Рассчитайте значения функции в этих точках. В ответе укажите сумму значений функции в этих точках. y = -2x³ - 3x² + 12x - 4 Впишите ответ (десятичный разделитель - точка или запятая)

Answer 1

Відповідь:

Ответ: -21

Покрокове пояснення:

Для того чтобы найти точки максимума и минимума функции, необходимо сначала найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума.

Дана функция:

y = -2x³ - 3x² + 12x - 4

Найдем производную функции:

y' = d/dx(-2x³ - 3x² + 12x - 4)

y' = -6x² - 6x + 12

Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

-6x² - 6x + 12 = 0

Решим уравнение:

-6x² - 6x + 12 = 0

Делим на -6 (чтобы упростить выражение): x² + x - 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

x = (-1 ± √(1 + 4*2)) / 2

x = (-1 ± √9) / 2

x = (-1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем две критические точки:

a) x₁ = (3 - 1) / 2 = 1

b) x₂ = (-3 - 1) / 2 = -2

Определим тип каждой критической точки, проверив вторую производную в этих точках:

y'' = d²/dx²(-2x³ - 3x² + 12x - 4)

y'' = -12x - 6

a) Для x = 1:

y''(1) = -12*1 - 6 = -12 - 6 = -18 (отрицательное число, следовательно, это точка максимума).

b) Для x = -2:

y''(-2) = -12*(-2) - 6 = 24 - 6 = 18 (положительное число, следовательно, это точка минимума).

Теперь найдем значения функции в этих точках:

a) Для x = 1:

y(1) = -21³ - 31² + 12*1 - 4 = -2 - 3 + 12 - 4 = 3

b) Для x = -2:

y(-2) = -2*(-2)³ - 3*(-2)² + 12*(-2) - 4 = -2*(-8) - 3*4 - 24 - 4 = 16 - 12 - 28 = -24

Таким образом, сумма значений функции в точках максимума и минимума равна:

3 + (-24) = -21

Ответ: -21

Answer 2

Для нахождения точек максимума и минимума функции, сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем определим характер этих точек (максимум или минимум) с помощью второй производной.

Итак, начнем с нахождения производной функции y по x:

y = -2x³ - 3x² + 12x - 4

y' = d/dx (-2x³ - 3x² + 12x - 4)

y' = -6x² - 6x + 12

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

-6x² - 6x + 12 = 0

Для упрощения уравнения разделим его на -6:

x² + x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию:

x² + x - 2 = 0 (x + 2)(x - 1) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения x:

1. x = -2
2. x = 1

Теперь определим характер этих точек, используя вторую производную. Для этого найдем вторую производную y''(x):

y'' = d²/dx² (-6x² - 6x + 12) y'' = -12x - 6

Теперь подставим значения x во вторую производную:

1. y''(-2) = -12*(-2) - 6 = 24 - 6 = 18
2. y''(1) = -12*1 - 6 = -12 - 6 = -18

Если вторая производная положительна в точке, то это точка минимума. Если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Таким образом:

1. x = -2 - точка минимума
2. x = 1 - точка максимума

Теперь найдем значения функции y в этих точках:

1. y(-2) = -2*(-2)³ - 3*(-2)² + 12*(-2) - 4 = -16 - 12 - 24 - 4 = -56
2. y(1) = -21³ - 31² + 12*1 - 4 = -2 - 3 + 12 - 4 = 3

Теперь найдем сумму значений функции в этих точках:

-56 + 3 = -53

Ответ: -53.