Question

Найти все целые числа, которые при деление на 12 дают в остатке 9, а при деление на 9 дают в остатке 6 Нужно применить диофантовое уравнение

Answer 1

Щоб знайти всі цілі числа, які задовольняють умови ділення на 12 і 9, можна використовувати діофантове рівняння.

Діофантове рівняння має вигляд:

x ≡ a (mod m)

Де x - невідоме ціле число, a - залишок, m - модуль.

В даному випадку ми маємо два рівняння:

x ≡ 9 (mod 12)

x ≡ 6 (mod 9)

Давайте розв'яжемо ці два рівняння окремо.

Рівняння 1: x ≡ 9 (mod 12)

Знайдемо всі числа, які дають в остатку 9 при діленні на 12.

Можемо почати з числа 9 і додавати до нього 12, щоб отримати всі числа, які задовольняють це рівняння:

9, 21, 33, 45, ...

Рівняння 2: x ≡ 6 (mod 9)

Знайдемо всі числа, які дають в остатку 6 при діленні на 9.

Аналогічно, почнемо з числа 6 і додаватимемо до нього 9:

6, 15, 24, 33, 42, ...

З'єднуючи обидва ряди чисел, отримаємо спільні числа:

33, 69, 105, ...

Отже, всі цілі числа, які задовольняють умови ділення на 12 і 9, даючи в остатку відповідно 9 і 6, є числа 33, 69, 105, і так далі.

Answer 2

Для нахождения всех целых чисел, которые при делении на 12 дают в остатке 9 и при делении на 9 дают в остатке 6, мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Сначала найдем общее решение с помощью диофантового уравнения, а затем найдем все целые числа, которые удовлетворяют условиям задачи.

Давайте обозначим искомое число как "x". У нас есть два условия:

1. x ≡ 9 (mod 12)
2. x ≡ 6 (mod 9)

Сначала найдем решение для первого условия:

Для уравнения x ≡ 9 (mod 12) можно записать в виде диофантового уравнения:

x = 9 + 12k, где k - целое число.

Теперь подставим это выражение во второе условие:

9 + 12k ≡ 6 (mod 9)

Для начала, вычтем 9 с обеих сторон:

12k ≡ -3 (mod 9)

Теперь, чтобы упростить это уравнение, давайте переведем -3 в эквивалент положительного числа по модулю 9. -3 эквивалентно 6 по модулю 9, так как -3 + 9 = 6.

Теперь у нас есть следующее уравнение:

12k ≡ 6 (mod 9)

Для нахождения решения этого уравнения, мы можем разделить обе стороны на наибольший общий делитель чисел 12 и 9, то есть НОД(12, 9) = 3.

(12k) / 3 ≡ (6) / 3 (mod 9)

4k ≡ 2 (mod 9)

Теперь у нас есть линейное диофантово уравнение. Для нахождения всех целых решений, можно умножить обе стороны на обратный элемент 4 по модулю 9. Обратный элемент - это число, которое при умножении на 4 дает остаток 1 по модулю 9. Обратный элемент для 4 по модулю 9 равен 7, так как 4 * 7 ≡ 1 (mod 9).

Умножим обе стороны на 7:

4k * 7 ≡ 2 * 7 (mod 9)

k ≡ 14 (mod 9)

Теперь мы можем найти k, удовлетворяющее этому уравнению. Сначала найдем первое решение:

k = 14 + 9m, где m - целое число.

Теперь мы можем найти x, используя решение для первого условия:

x = 9 + 12k x = 9 + 12(14 + 9m) x = 9 + 168 + 108m x = 177 + 108m

Теперь мы имеем общее решение вида:

x = 177 + 108m, где m - целое число.

Чтобы найти все целые числа, удовлетворяющие условиям задачи, нужно выбирать различные значения для m и подставлять их в это уравнение. Таким образом, все целые числа, которые при делении на 12 дают в остатке 9 и при делении на 9 дают в остатке 6, могут быть выражены в виде:

x = 177 + 108m, где m - любое целое число.