Question

Решение дифференциальных функций с разделяемыми переменными с функциями Коши. Найти частное решение дифференциального уравнения: y'=3y/x, y(1)=3 ​

Answer 1

Ответ:

Найдём сначала общее решение дифф. ур. 1-го порядка .

$\displaystyle \bf y'=\dfrac{3y}{x}\ \ ,\ \ \ y(1)=3\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y}{x} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \int \frac{dy}{y}=3\int \frac{dx}{x} \ \ ,\\\\\\ln|y|=3\, ln|x|+ln|\, C\, |\\\\y=C\cdot x^3$      

Найдём частное решение, соответствующее заданным начальным условиям .

$\bf y(1)=3\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 3=C\cdot 1^3\ \ ,\ \ \ C=3\\\\\boxed{\bf \ y^*=3\cdot x^3\ }$        

Answer 2

Ответ:

y = 27x^3/9 = 3x^3

Пошаговое объяснение:

dy/dx = f(x)g(y)

dy/dx = 3y/x

1/y dy = 3/x dx

∫(1/y) dy = ∫(3/x) dx

ln|y| + C1 = 3 ln|x| + C2, де С1 та С2

ln|3| + C1 = 3 ln|1| + C2

C1 = ln|3| - C2

ln|y| = 3 ln|x| + ln|3| - C2

ln|y| = ln|27x^3| - C2

y = ±e^(ln|27x^3| - C2)

y = ±27x^3e^(-C2)

y(1) = 3 = ±27e^(-C2)

3 = 27e^(-C2)

e^C2 = 1/9

y = 27x^3/9 = 3x^3

Answer 3

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, y' = 3y/x, сначала перепишем его в более удобном виде для разделения переменных. Для этого умножим обе стороны на dx и поделим на y:

dy/y = 3/x dx.

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интеграл от dy/y равен ln|y|, а интеграл от 3/x dx равен 3ln|x| + C1, где С1 - произвольная константа интегрирования. Таким образом, получаем:

ln|y| = 3ln|x| + C1.

Используем свойство логарифма, чтобы убрать константу из логарифма, получаем:

ln|y| = ln|x|^3 + C1,

ln|y| = ln|x^3| + C1,

Применяем экспоненту к обеим сторонам уравнения, получаем:

|y| = e^(ln|x^3| + C1),

|y| = e^(ln|x^3|) * e^(C1),

|y| = |x^3| * C2,

где C2 = e^(C1) - некоторая другая константа.

Теперь найдем значение константы C2 с использованием начального условия y(1) = 3:

|3| = |1^3| * C2,

3 = 1 * C2,

C2 = 3.

Теперь мы знаем, что решение уравнения имеет вид |y| = 3|x^3|. Тепак поскольку y(1) = 3, то y должно быть положительным, следовательно y = 3x^3 - частное решение данного дифференциального уравнения.