Question

Назовем набор различных натуральных чисел от 1 до 9 удачным, если сумма всех входящих в него чисел четная. Сколько всего удачных наборов существует?

Answer 1

Ответ:

Сложно понять что хотят, но попробую.

Действительно, чтоб получит набор с четной суммой, необходимо чтобы нечетных цифр было четное количество.

Пусть их будет 4. Их можно выбрать 5-ю разными способами (исключая одну из нечетных)

Далее надо узнать какие наборы четных при этом могут быть.

1) одна цифра - 4 набора

2) две цифры - 4*3 (первая выбирается из 4, вторая из 3 оставшихся)

3) три цифры - 4*3*2

4) четыре цифры - 4*3*2*1

5) Вообще не поставить четные цифры - 1

Итого 5*(4+4*3+4*3*2+4*3*2*1+1)=5*65=325

Теперь только 2 нечетных. вариантов - 5*4=20

А вот вариантов четных при этом тоже 65

Итого 20*65=1300

Нет нечетныx. Одни четные.

Нельзя оставлять из пустое множество - 64

Итого

325+1300+64=1689

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом включения и исключения.

Сначала определим количество всех возможных наборов из 9 различных натуральных чисел от 1 до 9. Это можно сделать следующим образом: первое число может быть любым из 9, второе - любым из 8 оставшихся, третье - любым из 7, и так далее, что дает нам 9! (факториал 9) различных наборов.

Теперь мы должны определить количество наборов, сумма чисел в которых нечетная. Для этого давайте разделим все числа на две категории: четные (2, 4, 6, 8) и нечетные (1, 3, 5, 7, 9). Заметим, что сумма четного числа четна, а сумма нечетного числа нечетна.

Теперь рассмотрим возможные варианты для суммы чисел в наборе:

1. Сумма всех чисел в наборе четна, что означает, что количество нечетных чисел в наборе должно быть четным. Мы можем выбрать 0, 2, 4 или 6 нечетных чисел из 5 доступных (1, 3, 5, 7, 9). Это можно сделать следующим образом:

   • Выбрать 0 нечетных чисел из 5: C(5, 0) способов.
   • Выбрать 2 нечетных числа из 5: C(5, 2) способов.
   • Выбрать 4 нечетных числа из 5: C(5, 4) способов.
   • Выбрать 6 нечетных чисел из 5: C(5, 6) способов.

2. Сумма всех чисел в наборе нечетна, что означает, что количество нечетных чисел в наборе должно быть нечетным. Мы можем выбрать 1, 3 или 5 нечетных чисел из 5 доступных. Это можно сделать следующим образом:

   • Выбрать 1 нечетное число из 5: C(5, 1) способ.
   • Выбрать 3 нечетных числа из 5: C(5, 3) способа.
   • Выбрать 5 нечетных чисел из 5: C(5, 5) способов.

Теперь мы можем применить принцип включения и исключения. Всего у нас есть 4 способа выбрать четное количество нечетных чисел и 3 способа выбрать нечетное количество нечетных чисел. Таким образом, общее количество удачных наборов равно:

$9! - \left[C(5, 0) + C(5, 2) + C(5, 4) + C(5, 6)\right] - \left[C(5, 1) + C(5, 3) + C(5, 5)\right]$

Теперь давайте вычислим это значение:

$9! - [1 + 10 + 10 + 1] - [5 + 10 + 1] = 362$

Итак, всего существует 362 удачных набора различных натуральных чисел от 1 до 9.