Question

обязательно ли среди двадцати монет ( достоинством 1,2,3,5) найдётся семь монет одинакового достоинства?

Answer 1

Не обязательно. Может и не найтись, например тогда, когда монет каждого достоинства ровно по пять:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5 

Answer 2

Да, среди двадцати монет с достоинством 1, 2, 3 и 5 обязательно найдется семь монет одинакового достоинства. Это следует из принципа, известного как "принцип директивного ящика" (или принцип ящика и шариков).

Для того чтобы убедиться в этом, можно воспользоваться противоречием. Предположим, что среди двадцати монет не существует семи монет с одинаковым достоинством. Затем мы должны иметь как минимум по одной монете каждого из четырех достоинств: 1, 2, 3 и 5. Сумма этих минимальных достоинств равна 1 + 2 + 3 + 5 = 11. Но мы должны распределить 20 монет, и сумма всех их достоинств равна 1 + 2 + 3 + 5 + 1 + 2 + 3 + 5 + ... = 1 + 2 + 3 + 5 + (еще 16 монет).

Сумма первых 11 достоинств меньше суммы всех достоинств монет, поэтому, если мы не можем иметь семь монет одинакового достоинства, это будет противоречие, так как сумма достоинств монет должна быть одинакова в обоих случаях. Следовательно, среди двадцати монет обязательно найдется семь монет с одинаковым достоинством.