Question

Найти сумму всех натуральных n, для которых 10ⁿ − 2ⁿ не делится на 2⁶⁴

Answer 1

Мы знаем, что a^n - b^n делится на (a - b), если n - четное, и не делится, если n - нечетное (при условии, что a ≠ b).

В данной задаче, a = 10 и b = 2.

Если n - четное, то (10ⁿ - 2ⁿ) будет делиться на (10 - 2) = 8.

Если n - нечетное, то (10ⁿ - 2ⁿ) не будет делиться на 8.

Мы хотим найти такие значения n, при которых (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 2⁶⁴ = 2^(6 * 8).

Это означает, что (10ⁿ - 2ⁿ) не должно делиться на 2^6.

Так как 2^6 = 64, то нам нужно найти такие значения n, при которых (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 64.

Мы знаем, что 10ⁿ - 2ⁿ делится на (10 - 2) = 8, если n - четное.

Следовательно, нам нужно найти такие нечетные значения n, при которых (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 8.

Попробуем несколько начальных значений нечетных n:

При n = 1: 10¹ - 2¹ = 8 (делится на 8).

При n = 3: 10³ - 2³ = 1000 - 8 = 992 (не делится на 8).

При n = 5: 10⁵ - 2⁵ = 100000 - 32 = 99968 (не делится на 8).

При n = 7: 10⁷ - 2⁷ = 10000000 - 128 = 9988672 (не делится на 8).

И так далее.

Мы видим, что при n = 3, 5, 7 и далее (все нечетные значения n) разность (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 8.

Следовательно, чтобы (10ⁿ - 2ⁿ) не делилось на 2⁶⁴, мы должны взять сумму всех нечетных натуральных чисел n:

3 + 5 + 7 + ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия, где первый член a = 3 и знаменатель q = 2 (разность между соседними членами).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна:

S = a / (1 - q) = 3 / (1 - 2) = -3.

Однако мы ищем сумму только положительных значений, поэтому мы можем взять абсолютное значение:

S = | -3 | = 3.

Итак, сумма всех натуральных нечетных чисел n, при которых (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 2⁶⁴, равна 3.

Answer 2

Давайте разберёмся с данной задачей.

У нас есть условие, что $10^n - 2^n$ не делится на $2^{64}$. Это означает, что остаток от деления $10^n - 2^n$ на $2^{64}$ не равен нулю.

Мы также знаем, что $10^n - 2^n = 2^n(5^n - 1)$. Мы ищем такие натуральные числа n, для которых $2^n(5^n - 1)$ не делится на $2^{64}$. Это возможно только тогда, когда $2^n$ не делится на $2^{64}$ и $5^n - 1$ не делится на $2^{64}$.

Первое условие гарантирует, что $2^n$ не содержит более чем 64 степени двойки. Второе условие гарантирует, что $5^n - 1$ не делится на $2^{64}$, что означает, что нет ни одной степени двойки в разложении $5^n - 1$.

Давайте рассмотрим первое условие:

$2^n$ не делится на $2^{64}$. Это возможно только тогда, когда $n < 64$, так как в противном случае $2^n$ будет делиться на $2^{64}$.

Теперь давайте рассмотрим второе условие:

$5^n - 1$ не делится на $2^{64}$. Это означает, что в разложении $5^n - 1$ не должно быть степеней двойки. Другими словами, $5^n - 1$ должно быть нечётным. Известно, что $5^n$ всегда нечётное, так как 5 нечётное число, и все его степени также нечётные. Поэтому $5^n - 1$ всегда чётное.

Таким образом, у нас нет натуральных чисел n, для которых $10^n - 2^n$ не делится на $2^{64}$, потому что оба условия не могут быть выполнены одновременно.

Сумма всех таких n будет равна 0.