Question

Выберем произвольно n вершин правильного 2n-угольника и покрасим их в красный цвет. Остальные вершины окрашены в синий цвет. Расставляем все красно-красные расстояния в неубывающую последовательность и делаем то же самое с сине-синими расстояниями. Докажите, что последовательности равны.

Answer 1

Пронумеруем вершины от $0$ до $2n-1$, пусть $R\sqcup B$ их разбиение на красные и синие. Пусть $f=\sum_{r\in R} x^r$ и $g=\sum_{b\in B}x^b$. По гипотезе $f+g=x^{2n-1}+...+1$ и $f(1)=g(1)$, поэтому $|f(z)|=|g(z)|$ для всех $z^{2n}=1$

Пусть теперь $r_k,b_k$ обозначает количество пар красных и, соответственно, синих вершин, находящихся на расстоянии $k$ единиц друг от друга, движущихся по ребрам многоугольника. Легко видеть, что $\sum_{k=0}^{2n-1}r_kz^k=f(z)f(\overline z)=|f(z)|^2$ и $\sum_{k=0}^{2n-1}b_kz^k=|g(z)|^2$ для всех $z^{2n}=1$. Следовательно, $\sum_{k=0}^{2n-1}(r_k-b_k)z^k=|f(z)|^2-|g(z)|^2=0$ для всех таких $z$, поэтому многочлен в левой части исчезает. Значит, $r_k=b_k$

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим n вершин правильного 2n-угольника, покрашенных в красный цвет. Пусть эти вершины образуют множество R, а оставшиеся синие вершины образуют множество B. Красно-красные расстояния между вершинами в множестве R будут образовывать некоторое множество D_R, и аналогично, сине-синие расстояния между вершинами в множестве B будут образовывать множество D_B.

Теперь рассмотрим расстояния между вершиной из множества R и вершиной из множества B. Такие расстояния будут образовывать множество D_RB. Важно отметить, что каждое расстояние в D_RB будет уникальным, так как оно будет соединять вершины из разных множеств (R и B) и не будет повторяться.

Теперь, когда у нас есть множества D_R, D_B и D_RB, давайте докажем, что последовательности расстояний D_R и D_B равны. Мы можем это сделать, показав, что множества D_R и D_B имеют одинаковое количество элементов и что их элементы можно сопоставить в однозначное соответствие.

1. Количество элементов в D_R и D_B: Поскольку множества D_R и D_B представляют расстояния между вершинами внутри одного множества (R и B соответственно), то количество элементов в D_R и D_B будет одинаковым. Обозначим это количество как k.

2. Сопоставление элементов: Для каждого элемента d_R в D_R, найдем соответствующий элемент d_B в D_B. Мы можем это сделать следующим образом:

   • Рассмотрим вершину r в R, которая находится на расстоянии d_R от некоторой вершины r_0 в R.
   • Сопоставим эту вершину r с вершиной b в B, которая находится на расстоянии d_R от вершины r_0 в множестве B. Такое сопоставление всегда существует, так как расстояния в D_RB уникальны.
   • Расстояние между вершинами r и b в множестве D_RB равно d_R.

Таким образом, для каждого элемента d_R в D_R мы нашли соответствующий элемент d_B в D_B, и мы установили однозначное соответствие между элементами множеств D_R и D_B. Это доказывает, что последовательности расстояний D_R и D_B равны.

Поэтому, последовательности красно-красных расстояний и сине-синих расстояний равны, как и требовалось доказать.