Question

При каких a уравнение: 2cos²(2^(3x-x²)) = a+√3sin(2^(3x-x²+1)) имеет хотя бы одно решение? Необходим ответ с решением

Answer 1

Ответ:

-1≤a≤3

Пошаговое объяснение:

$2cos^{2}( {2}^{3x - {x}^{2} } ) = a + \sqrt{3} sin( {2}^{3x - {x}^{2} + 1} ) \\ t = {2}^{3x - {x}^{2} } \\ 2 {cos}^{2} t = a + \sqrt{3} sin2t \\ 1 + cos2t - \sqrt{3} sin2t = a \\ \frac{1}{2 } cos2t - \frac{ \sqrt{3} }{2} sin2t = \frac{a - 1}{2} \\ sin( \frac{\pi}{6} - 2t) = \frac{a - 1}{2}$

При каких "а" найдётся решение для t: так как область значений для синуса [-1;1]:

$- 1\leqslant \frac{a - 1}{2} \leqslant 1 \\ - 2 \leqslant a - 1 \leqslant 2 \\ - 1\leqslant a \leqslant 3$

Область значений t:

${2}^{ \frac{9}{4} } \geqslant {2}^{3x - {x}^{2} } > 0$

При каких t найдётся решение x: промежуток вот такой длины больше периода для корня t(в данном случае π), следовательно в любом случае найдётся такой t, который попадёт в промежуток.

Answer 2

Чтобы найти значения a, при которых уравнение 2cos²(2^(3x-x²)) = a + √3sin(2^(3x-x²+1)) имеет хотя бы одно решение, давайте разберемся в этом.

Сначала применим несколько математических преобразований. Рассмотрим уравнение:

2cos²(2^(3x-x²)) = a + √3sin(2^(3x-x²+1))

Перепишем sin(2^(3x-x²+1)) в виде cos(π/6 - (2^(3x-x²+1))), используя тригонометрические тождества:

2cos²(2^(3x-x²)) = a + √3cos(π/6 - (2^(3x-x²+1)))

Теперь у нас есть уравнение с двумя косинусами:

2cos²(2^(3x-x²)) = a + √3cos(π/6 - (2^(3x-x²+1)))

Чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, рассмотрим разные диапазоны значений a.

1. Если a < -√3, то правая сторона (a + √3cos(π/6 - (2^(3x-x²+1))) < 0) всегда отрицательна, и уравнение не имеет решений.

2. Если -√3 ≤ a ≤ √3, то правая сторона принимает значения в диапазоне от -√3 до √3, и мы можем найти решения для различных значений x. Уравнение будет иметь решения.

3. Если a > √3, то правая сторона (a + √3cos(π/6 - (2^(3x-x²+1))) > 2√3), и уравнение не имеет решений.

Итак, уравнение имеет решения при -√3 ≤ a ≤ √3.