Question

F(x) = 1/корень (1 - x) доказать что функция возрастающая

Answer 1

Если функция возрастающая, тогда для любых x₁ и x₂ из области определения функции выполняется условие: f (x₁) < f (x₂) при x₁ < x₂.
Покажем, что это условие выполняется для нашей функции,
т. е. F (x₂) - F (x₁) > 0 при x₁ < x₂; x₁, x₂ ∈ (-∞; 1).
$F(x_2)-F(x_1)= \frac{1}{ \sqrt{1-x_2} } -\frac{1}{ \sqrt{1-x_1} }=\frac{\sqrt{1-x_1}-\sqrt{1-x_2}}{ \sqrt{(1-x_1)(1-x_2)} }\ \textgreater \ 0$ при любых x₁ и x₂, таких что x₁ < x₂; x₁, x₂ ∈ (-∞; 1).

Answer 2

Чтобы доказать, что функция F(x) = 1/√(1 - x) возрастающая на определенном интервале, нам нужно показать, что производная этой функции положительна на этом интервале. Если производная положительна, это означает, что функция возрастает.

Давайте найдем производную F(x):

F(x) = 1/√(1 - x)

Чтобы найти производную, мы можем использовать правило дифференцирования функции вида f(x) = 1/√(u(x)), где u(x) - функция внутри корня:

F'(x) = [d/dx(1)]/√(1 - x)

Производная постоянной функции 1 равна 0:

F'(x) = 0/√(1 - x) = 0

Это означает, что производная F'(x) всегда равна 0. Таким образом, производная функции F(x) не зависит от x и всегда равна 0.

Поскольку производная не меняется с изменением x, это означает, что функция F(x) не возрастает и не убывает на всей области определения (на интервале (-∞, 1)). Она остается постоянной на этом интервале.

Поэтому F(x) = 1/√(1 - x) не является возрастающей функцией на интервале (-∞, 1).