Question

Найти интеграл: x*arcsin5x*dx

Answer 1

∫x*arcsin5x*dx=   u=arcsinx, du=dx/√1-x²
                           v=x, dv=dx
∫x*arcsin5x*dx= x·arcsinx-∫xdx/√1-x²,
1-x²=t, dt=-2xdx
∫xdx/√1-x²=- 0,5∫dt/√t=-√t=-√1-x²,
∫x*arcsin5x*dx= x·arcsinx-∫xdx/√1-x²=  x·arcsinx +x√(1-x²)+C

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫x * arcsin(5x) dx, давайте воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это две части вашей функции, которые мы выбираем.

Выберем:

u = arcsin(5x) => du = (1/√(1 - (5x)^2)) * 5 dx dv = x dx => v = (1/2) * x^2

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫x * arcsin(5x) dx = (1/2) * x^2 * arcsin(5x) - ∫(1/2) * x^2 * (1/√(1 - (5x)^2)) * 5 dx

Раскроем несколько множителей и упростим выражение:

∫x * arcsin(5x) dx = (1/2) * x^2 * arcsin(5x) - (5/2) * ∫x^2 / √(1 - (5x)^2) dx

Следующим шагом, для решения оставшегося интеграла, мы можем сделать замену переменной. Пусть t = 5x, тогда dt = 5 dx. Перепишем интеграл:

∫x * arcsin(5x) dx = (1/2) * x^2 * arcsin(5x) - (5/2) * ∫(1/25) * (t/5)^2 / √(1 - t^2) dt

∫x * arcsin(5x) dx = (1/2) * x^2 * arcsin(5x) - (1/10) * ∫t^2 / √(1 - t^2) dt

Теперь это интеграл можно решить, используя метод интегрирования по частям или другие методы интегрирования функций, зависящих от арксинуса. Получившийся интеграл уже более стандартный и его можно решить.

Answer 3

Чтобы найти интеграл от выражения x * arcsin(5x) dx, мы можем использовать интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это части исходного интеграла, которые мы выбираем. В данном случае, мы можем выбрать:

u = x dv = arcsin(5x) dx

Затем мы вычисляем их производные и интегралы:

du = dx v = ∫arcsin(5x) dx

Теперь нам нужно вычислить v, который представляет собой интеграл arcsin(5x) dx. Для этого используем интеграцию по частям ещё раз:

Выберем: u = arcsin(5x) dv = dx

Вычислим их производные и интегралы:

du = (1/√(1 - (5x)^2)) * 5 dx v = x

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям для интеграла v:

∫arcsin(5x) dx = x * arcsin(5x) - ∫x * (1/√(1 - (5x)^2)) * 5 dx

Теперь у нас есть выражение для v, и мы можем вернуться к исходному интегралу:

∫x * arcsin(5x) dx = x * arcsin(5x) - 5∫x * (1/√(1 - (5x)^2)) dx

Интеграл 5∫x * (1/√(1 - (5x)^2)) dx может быть вычислен с помощью замены переменных. Давайте обозначим 5x как t:

t = 5x dt = 5 dx

Теперь мы можем переписать интеграл:

5∫x * (1/√(1 - (5x)^2)) dx = ∫(1/√(1 - t^2)) * (1/5) dt

Теперь мы интегрируем это выражение по t. Интеграл ∫(1/√(1 - t^2)) dt - это арксинус (arcsin) t. Помните, что t = 5x, поэтому:

5∫x * (1/√(1 - (5x)^2)) dx = (1/5) * arcsin(5x)

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу:

∫x * arcsin(5x) dx = x * arcsin(5x) - (1/5) * arcsin(5x) + C

Где C - это константа интеграции.