Question

Решить задачи на вероятность 1) Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы поо каждой из трех дисциплин равна соответственно 0.6 0,5 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам, б) хотя бы по двум дисциплинам. 2) В среднем 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из N договоров с наступлением страхового случая M договоров будет связано с выплатой страховой суммы если: а) N=10, M=3 б) N=300, M=80 3) Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0.6, второй 0.8. Составить закон распределения случайной величины - числа покупок, сделанных покупателями. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Answer 1

1
а) Вероятность сдать экзамен - дано - p1=0,6, р2=0,5, р3=0,8.
Вероятность провалить = не сдать -  q1=1-p1=0.4, q2=0.5, q3=0.2
Вероятности событий "И" - умножаются, а событий "ИЛИ" - суммируются.
Формула словами - (И да1 И да2 И не3) ИЛИ (И да1 И не2 И да3) ИЛИ (И не1 И да2 И да3).
Вероятность сдать два из трех по формуле:
P(A)=p1*p2*q3 + p1*q2*p3 = q1*p2*p3 = 0.6*0.5*0.2 + 0.6*0.5*0.8 + 0.4*0.5*0.8 = 0.06+0.24+0.16 = 0.46 = 46% - ОТВЕТ
б) два или даже три сдаст - добавляем вероятность всех трех экзаменов.
Р(В) = Р(А) + р1*р2*р3 = 0,46 + 0,6*0,5*0,8 = 0,46+0,24=0,7= 70% - ОТВЕТ
2. Два события - вероятность выплаты и вероятность страхового случая.
а) Р = 0,15 *  3/10 = 0,045 = 4,5% - ОТВЕТ
б) Р = 0,15 * 80/300 ~ 0,15*0,2667 = 0.04 = 4% - ОТВЕТ

Answer 2

Для решения этих задач будем использовать основные принципы комбинаторики и вероятности.

1. Вероятность своевременного выполнения контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно: P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(C) = 0.8.

a) Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом по двум дисциплинам (A и B):

P(A и B) = P(A) * P(B) = 0.6 * 0.5 = 0.3

б) Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом хотя бы по двум дисциплинам. Для этого мы можем воспользоваться формулой включения-исключения:

P(хотя бы по двум дисциплинам) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A и B) - P(A и C) - P(B и C) + P(A и B и C)

P(хотя бы по двум дисциплинам) = 0.6 + 0.5 + 0.8 - 0.3 - (0.6 * 0.8) - (0.5 * 0.8) + (0.6 * 0.5 * 0.8) = 0.6 + 0.5 + 0.8 - 0.3 - 0.48 - 0.4 + 0.24 = 1.46 - 0.3 - 0.48 = 0.68

Ответ: Вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом хотя бы по двум дисциплинам равна 0.68.

2. В среднем 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Для каждого договора вероятность выплаты страховой суммы равна P(выплата) = 0.15.

а) N=10, M=3:

Найдем вероятность того, что из 10 договоров 3 связаны с выплатой страховой суммы, используя биномиальное распределение:

P(X = 3) = C(10, 3) * (0.15)^3 * (0.85)^(10-3)

где C(10, 3) - число сочетаний из 10 по 3.

P(X = 3) = 120 * (0.15)^3 * (0.85)^7

б) N=300, M=80:

Точно так же, найдем вероятность для данного случая:

P(X = 80) = C(300, 80) * (0.15)^80 * (0.85)^(300-80)

3. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0.6, и второй покупатель - 0.8.

Составим закон распределения случайной величины - числа покупок, сделанных покупателями. Эта случайная величина может принимать значения 0, 1 или 2.

Вероятность, что ни один из них не сделает покупку (X=0): P(X=0) = (1-0.6) * (1-0.8) = 0.4 * 0.2 = 0.08

Вероятность, что сделает покупку только один из них (X=1): P(X=1) = (0.6 * 0.2) + (0.4 * 0.8) = 0.12 + 0.32 = 0.44

Вероятность, что оба сделают покупку (X=2): P(X=2) = 0.6 * 0.8 = 0.48

Теперь найдем математическое ожидание и дисперсию:

Математическое ожидание (среднее значение): E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) = 0 * 0.08 + 1 * 0.44 + 2 * 0.48 = 1.4

Дисперсия: Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (0^2 * P(X=0)) + (1^2 * P(X=1)) + (2^2 * P(X=2)) - (1.4)^2 = 0 + 0.44 + 1.92 - 1.96 = 0.4

Ответ: Математическое ожидание числа покупок равно 1.4, а дисперсия равна 0.4.