Question

В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров

Answer 1

Формула Бернулли: Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит k раз с вероятностью успеха p :

                             $P_n(k)=C^k_np^kq^{n-k}$, 

где   $q=1-p$ и $C_n^k= \dfrac{n!}{(n-k)!k!}$

A) Вероятность того, что в n=10 договорах, событие наступит ровно k=3 раза, равна
   $P_{10}(3)=C^3_{10}p^3q^{10-3}=C^3_{10}p^3q^7=C^3_{10}p^3(1-p)^7=\\ \\ = \dfrac{10!}{3!(10-3)!}\cdot 0.15^3\cdot(1-0.15)^7= \dfrac{10!}{3!7!} \cdot 0.15^3\cdot 0.85^7\approx0.13$

Б) Обозначим событие А - "выплата страховой суммы менее двух договоров".
Вероятность события А нужно найти как сумма вероятностей в n=10 договорах, события которых наступят ровно k=1 и k=0 раз.
$P(A)=P_{10}(0)+P_{10}(1)=C^0_{10}p^0(1-p)^{10-0}+C^1_{10}p^1(1-p)^{10-1}=\\ \\ =(1-p)^{10}+10p(1-p)^9=(1-p)^9(1-p+10p)=(1-p)^9(1+9p)=\\ \\ =(1-0.15)^9\cdot(1+9\cdot 0.15)=0.85^9\cdot2.35\approx 0.54$