Question

Три покупателя независимо друг от друга могут сделать по одной покупке в магазине. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,6, второй – 0,8, третий – 0,9. X – число покупок, сделанных этими покупателями. Найти ряд и функцию распределения для Х, а также МХ, DX и вероятность того, что Х не меньше 2

Answer 1

Решим задачу в Excel (см. приложение)

Необходимые пояснения:

Вероятность покупки (и не покупки):

p₁ = 0,6;     q₁ = 1 - p₁ = 0,4

p₂ = 0,8;     q₂ = 1 - p₂ = 0,2

p₃ = 0,9;     q₂ = 1 - p₃ = 0,1.

Ряд распределения.

Число покупок:

X₀ = 0 - покупок не сделано;

X₁ = 1 - покупка  сделана только одним покупателем;

X₂ = 2 - покупку  сделали двое покупателей;

X₃ = 3 - покупку  сделали все покупатели.

Функция распределения.

Всевозможные исходы:

P₀ = q₁·q₂·q₃ = 0,008;

P₁  = p₁·q₂·q₃ +  q₁·p₂·q₃ +  q₁·q₂·p₃ = 0,116;

P₂  = p₁·p₂·q₃ +  p₁·q₂·p₃ +  q₁·q₂·p₃ = 0,444;

P₃ = p₁·p₂·p₃ = 0,432.

Проверка:

0,008+0,116+0,444+0,432 = 1

Математическое ожидание:

M[X] = 0·0,008 + 1·0,116 + 2·0,444 + 3·0,432 = 2,3

Дисперсия:

D[X] = 0²·0,008 + 1²·0,116 + 2²·0,444 + 3²·0,432 -  2,3² = 0,49

Вероятность

P(x>1) = 0,444+0,432=0,876

Answer 2

Для нахождения ряда и функции распределения для X, а также математического ожидания (МХ), дисперсии (DX) и вероятности того, что X не меньше 2, мы можем использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение применимо, так как каждый покупатель может либо сделать покупку (успех), либо не сделать покупку (неудача), и эти события независимы друг от друга.

Ряд распределения для X будет выглядеть следующим образом:

X | 0 | 1 | 2 | 3

P(X) | 0.06 | 0.48 | 0.36 | 0.06

Функция распределения для X:

F(X) = P(X ≤ k) = ∑[i=0 to k] P(X=i)

F(X) = P(X ≤ 0) + P(X ≤ 1) + P(X ≤ 2) + P(X ≤ 3)

F(X) = 0.06 + 0.54 + 0.9 + 0.96 = 2.46

Математическое ожидание (МХ) можно вычислить по формуле:

МХ = ∑[i=0 to n] i * P(X=i)

МХ = 0 * 0.06 + 1 * 0.48 + 2 * 0.36 + 3 * 0.06 = 1.26

Дисперсию (DX) можно вычислить по формуле:

DX = ∑[i=0 to n] (i - МХ)² * P(X=i)

DX = (0 - 1.26)² * 0.06 + (1 - 1.26)² * 0.48 + (2 - 1.26)² * 0.36 + (3 - 1.26)² * 0.06 ≈ 0.756

Теперь найдем вероятность того, что X не меньше 2:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)

P(X ≥ 2) = 1 - 0.06 - 0.48 ≈ 0.46

Таким образом, ряд распределения для X будет 0.06, 0.48, 0.36, 0.06, функция распределения F(X) = 2.46, МХ = 1.26, DX ≈ 0.756, и вероятность P(X ≥ 2) ≈ 0.46.