Question

Разложить на множители многочлен: х^3-2х^2-11х+12

Answer 1

Дан многочлен: х³ - 2х² - 11х + 12.
Разложение через свободный член.
Примем среди множителей свободного члена х = 1.
1-2-11+12 = 13-13 = 0.
Значит, х = 1 это корень, при котором многочлен равен 0.
Делим исходный многочлен на х - 1.
х³ - 2х² - 11х + 12 | x -1
                             -------
                               x² - x + 12
x³ - x²
----------------
   -x² - 11x
   -x² - x
----------------------
          -12x + 12
          -12x + 12
----------------------
Получили разложение (х - 1)(x² - x + 12).
Квадратный трёхчлен x² - x + 12 тоже можно разложить на множители,
Приравниваем нулю: x² - x + 12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-1)^2-4*1*(-12)=1-4*(-12)=1-(-4*12)=1-(-48)=1+48=49;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√49-(-1))/(2*1)=(7-(-1))/2=(7+1)/2=8/2=4;x_2=(-√49-(-1))/(2*1)=(-7-(-1))/2=(-7+1)/2=-6/2=-3.

Ответ: х³ - 2х² - 11х + 12 = (х - 1)(х + 3)(х - 4).

Answer 2

Чтобы разложить многочлен $x^3 - 2x^2 - 11x + 12$ на множители, мы будем использовать метод синтетического деления или метод поиска рациональных корней (теорема о рациональных корнях).

Сначала давайте проверим рациональные корни этого многочлена. Рациональный корень многочлена можно найти, применяя следующее правило: рациональный корень будет делителем свободного члена (в данном случае 12) и будет делителем старшего коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, возможные рациональные корни это $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12$.

Давайте начнем проверять эти значения, чтобы найти корень:

1. Попробуем $x = 1$:

   Подставляем $x = 1$ в многочлен: $1^3 - 2 \cdot 1^2 - 11 \cdot 1 + 12 = 1 - 2 - 11 + 12 = 0$.

   Получили ноль, что означает, что $x = 1$ - это корень многочлена.

Теперь мы знаем, что $(x - 1)$ - это один из множителей. Чтобы разложить многочлен полностью, мы можем разделить $x^3 - 2x^2 - 11x + 12$ на $(x - 1)$ с помощью синтетического деления или деления полиномов. Индексами обозначу степени $x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Индекс} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Коэффициент} & 1 & -2 & -11 & 12 \\ \hline \end{array}$$

Сначала записываем 1 (коэффициент при $x^3$) в новой строке. Затем умножаем 1 на корень 1 (корень многочлена), и записываем результат (-1) под коэффициентом -2. Теперь складываем -2 и -1, чтобы получить новое значение -3. Затем умножаем -3 на корень 1 и записываем результат (-3) под коэффициентом -11. Теперь складываем -11 и -3, чтобы получить новое значение -14. Затем умножаем -14 на корень 1 и записываем результат (-14) под коэффициентом 12. Строка с коэффициентами завершена.

Результат синтетического деления:

$$x^2 - 3x - 14$$

Теперь нам нужно разложить $x^2 - 3x - 14$ на множители. Давайте попробуем найти рациональные корни этого многочлена. Возможные рациональные корни это $±1, ±2, ±7, ±14$.

Попробуем $x = 2$:

Подставляем $x = 2$ в многочлен: $2^2 - 3 \cdot 2 - 14 = 4 - 6 - 14 = -16$.

$x = 2$ не является корнем. Попробуем другие значения. Мы видим, что $x = -2$ - это корень.

Теперь мы знаем, что $(x + 2)$ - это еще один множитель. Теперь мы можем разложить многочлен полностью:

$$(x - 1)(x + 2)$$

Таким образом, разложение данного многочлена на множители:

$$x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = (x - 1)(x + 2)$$