Question

Интеграл dx / 5 - 2x^2 даю 10 балов

Answer 1

Решение неопределенного интеграла

Answer 2

Решение неопределённого интеграла

Answer 3

Для вычисления интеграла ∫(dx / (5 - 2x^2)), давайте воспользуемся методом частных дробей. Сначала разложим дробь на простейшие дроби:

1 / (5 - 2x^2) = A / (√5 + 2x) + B / (-√5 + 2x)

Теперь давайте найдем значения A и B. Умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель (5 - 2x^2) и получим:

1 = A(-√5 + 2x) + B(√5 + 2x)

Теперь мы можем подставить различные значения x, чтобы найти коэффициенты A и B. Давайте начнем с x = -√5/2:

1 = A(-√5 + 2(-√5/2)) + B(√5 + 2(-√5/2)) 1 = A(-√5 - √5) + B(√5 - √5) 1 = -2√5A

Теперь давайте подставим x = √5/2:

1 = A(√5 + 2(√5/2)) + B(-√5 + 2(√5/2)) 1 = A(√5 + √5) + B(-√5 + √5) 1 = 2√5A

Теперь мы имеем систему уравнений:

-2√5A = 1 2√5A = 1

Решая эту систему, мы получаем A = -1/2√5 и B = 1/2√5.

Теперь мы можем вычислить интеграл:

∫(dx / (5 - 2x^2)) = ∫(A / (√5 + 2x) + B / (-√5 + 2x)) dx = ∫(-1/2√5 / (√5 + 2x) + 1/2√5 / (-√5 + 2x)) dx

Теперь мы можем вычислить интегралы от каждой из этих дробей:

∫(-1/2√5 / (√5 + 2x)) dx = (-1/2√5) * (1/2) * ln|√5 + 2x| + C₁

∫(1/2√5 / (-√5 + 2x)) dx = (1/2√5) * (1/2) * ln|-√5 + 2x| + C₂

Где C₁ и C₂ - постоянные интеграции.

Теперь объединим результаты:

∫(dx / (5 - 2x^2)) = (-1/4√5) * ln|√5 + 2x| + (1/4√5) * ln|-√5 + 2x| + C

Где C = C₁ + C₂ - это постоянная интеграции.

Итак, интеграл от dx / (5 - 2x^2) равен:

(-1/4√5) * ln|√5 + 2x| + (1/4√5) * ln|-√5 + 2x| + C