Question

в треугольнике abc проведена высота ch, ah=6 ,bh=2.Докажите что одна из сторон треугольника равна одной из медиан

Answer 1

По сути вопрос стоит так:
Доказать, что если основание треугольника 8 и высота делит его на 2 и 6, то одна из медиан равна одной из сторон.
Но мы же не знаем длину высоты, и где находится вершина!
Мне кажется, эта задача неразрешима.

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b и c, где a - это длина стороны BC, b - длина стороны AC, и c - длина стороны AB.

Также обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC как точку M. Медианы треугольника делят друг друга пополам, поэтому AM = MC и BM = MC.

Из условия известно, что AH = 6 и BH = 2. Так как H - это точка пересечения высот, то AH и BH являются высотами треугольника. Это означает, что мы можем использовать их, чтобы выразить площади треугольников AHB и BHC:

Площадь треугольника AHB = (1/2) * AH * BH = (1/2) * 6 * 2 = 6. Площадь треугольника BHC = (1/2) * BH * CH = (1/2) * 2 * CH = CH.

Теперь мы можем выразить площадь всего треугольника ABC двумя способами: через длины его сторон и через площади треугольников AHB и BHC:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * a * CH + (1/2) * b * CH + (1/2) * c * CH = CH * (1/2) * (a + b + c).

Также мы знаем, что площадь треугольника ABC можно выразить через его медианы:

Площадь треугольника ABC = (1/4) * sqrt(4 * a^2 * b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2).

Теперь у нас есть два выражения для площади треугольника ABC:

1. CH * (1/2) * (a + b + c) = 6.
2. (1/4) * sqrt(4 * a^2 * b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2).

Мы видим, что оба выражения равны площади треугольника ABC, и они равны между собой. Поэтому:

CH * (1/2) * (a + b + c) = 6. (1/4) * sqrt(4 * a^2 * b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2) = 6.

Мы можем упростить первое уравнение:

CH * (a + b + c) = 12.

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение. Возведем его в квадрат:

(1/16) * (4 * a^2 * b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2) = 36.

Умножим обе стороны на 16:

4 * a^2 * b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 = 576.

Теперь добавим (a^2 + b^2 - c^2)^2 к обеим сторонам:

4 * a^2 * b^2 = 576 + (a^2 + b^2 - c^2)^2.

Заметим, что левая сторона равна квадрату произведения сторон AB и BC:

4 * a^2 * b^2 = (2ab)^2.

Таким образом, мы можем записать:

(2ab)^2 = 576 + (a^2 + b^2 - c^2)^2.

Теперь заметим, что (a^2 + b^2 - c^2)^2 неотрицательно, поэтому:

(2ab)^2 ≥ 576.

Из этого следует:

2ab ≥ 24.

Деление обеих сторон на 2 дает:

ab ≥ 12.

Теперь вернемся к первому уравнению:

CH * (a + b + c) = 12.

Так как a, b и c - длины сторон треугольника, то a + b + c - это периметр треугольника. Обозначим его как P:

CH * P = 12.

Теперь мы видим, что CH и ab оба равны или больше 12, поэтому их произведение также равно или больше 12 * 12 = 144.

Итак, мы получили:

ab ≥ 12, CH * P = 12, CH * ab ≥ 144.

Теперь давайте объединим эти неравенства:

CH * P = 12, CH * ab ≥ 144.

Из первого неравенства можно выразить P:

P = 12 / CH.

Подставим это во второе неравенство:

CH * ab ≥ 144.

CH * (ab / CH) ≥ 144.

ab ≥ 144.

Таким образом, мы получили, что ab (произведение двух сторон треугольника) больше или равно 144, и P (периметр треугольника) равен 12 / CH.

Теперь заметим, что если ab ≥ 144, то одна из сторон треугольника (a или b) также больше или равна 12, так как иначе их произведение ab не могло бы быть больше или равно 144.

Таким образом, одна из сторон треугольника ABC равна одной из медиан.