Question

Задание 1 (30 баллов). В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота BD. Определите длину BD, если AD = 2 см, DC = 8 см. Указание: для решения воспользуйтесь утверждением (без доказательства), что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных друг другу. Задание 2 (40 баллов). В прямоугольном треугольнике (∠B = 90°) величина угла A составляет 60°. Из вершины угла A проведена биссектриса AD, которая разбивает противоположный катет на отрезки BD и DC. 1. Докажите, что ΔBCA∼ΔBAD. 2. Найдите отношение BD:DС. Ответ запишите в виде отношения чисел. Задание 3 (30 баллов). В треугольнике ABC проведена средняя линия NM (NM || AC). В полученном треугольнике BNM проведена средняя линия PF (PF || BN). Определите периметр треугольника PMF, если периметр треугольника ABC составляет 120 см

Answer 1

Ответ:

1)4 см

2) доказательство

3) 15 см²

Пошаговое объяснение:

1) ВД*ВД=АД*ДС, ВД²=2*8=16, ВД=4

2) Доказательство: так как АД биссектриса угла А, то угол ВАД=ДАС=30 градусов, угол АСВ=180-90-60=30, а значит угол АСВ=ВАД=30 градусов

сторона АВ треугольников ВСА и ВАД - общая, угол АВД=АВС=90 градусов. Следовательно треугольники ВСА и ВАД подобны по двум углам. ЧТД.

3) так как средняя линия равнобедренного треугольника равна 1/2 основания, то из подобия треугольников следует, что коэффициент подобия сохраняется для всех линейных значений, т.е. периметр треугольника NDM=60 cм², а периметр PBF=30 см².

Далее рассмотрим равнобедренную трапецию NPFM. РМ-диагональ равнобедренной трапеции, а значит она делит трапецию на два равных треугольника, т.е. треугольники NPM=MFP. Следовательно, периметр треугольника PMF=30/2=15 см²

Answer 2

Ответ:

вд*вд=ад*дс вд2=2*8=16 т.к вд2 то 4

док-во: так как ад биссектриса угла ,то угол вад равен углу дас, а это равно 30 градусам. 180-b(90)-A(60)=30, значит вад=дас-30 градусов

Answer 3

Задание 1: Из утверждения о подобии треугольников, когда высота прямоугольного треугольника разбивает его на два подобных треугольника, мы знаем, что:

$\frac{BD}{AD} = \frac{DC}{BD+AD}$

Теперь подставим известные значения:

$\frac{BD}{2} = \frac{8}{BD + 2}$

Перемножим обе стороны уравнения на $BD + 2$:

$BD^2 + 2BD = 16$

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

$BD^2 + 2BD - 16 = 0$

Это квадратное уравнение имеет два корня, но в данном контексте только положительный корень имеет смысл:

$BD = \frac{-2 + \sqrt{2^2 - 4 \times 1 \times (-16)}}{2 \times 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \text{ см}$

Таким образом, длина BD равна 2 см.

Задание 2:

1. Докажем подобие треугольников $\Delta BCA$ и $\Delta BAD$.

У нас уже известно, что угол ABD равен 60° (по построению), и угол CAB равен 60° (из условия). Угол BAC равен 90° (прямой угол). Таким образом, у нас есть два угла в треугольниках $\Delta BCA$ и $\Delta BAD$, которые равны между собой (угол ABD и угол CAB), и углы между равными сторонами этих треугольников равны (угол BAC и угол ABC). По признаку угол-угол треугольники $\Delta BCA$ и $\Delta BAD$ подобны.

2. Найдем отношение BD к DC.

Из подобия треугольников, мы знаем, что соответствующие стороны пропорциональны. Таким образом:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Мы знаем, что AB (половина гипотенузы) равна $AD \times \sin(60°) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см, и AC (гипотенуза) равна 10 см (AD + DC). Теперь подставим значения:

$\frac{BD}{DC} = \frac{\sqrt{3}}{10}$

Ответ в виде отношения чисел: $BD : DC = \sqrt{3} : 10$.

Задание 3: Так как NM || AC, то треугольник BNM подобен треугольнику ABC в соотношении 1:2 (по теореме о параллельных прямых и треугольниках). Также PF || BN, следовательно, треугольник PMF подобен треугольнику BNM в том же соотношении 1:2.

Пусть периметр треугольника BNM равен $x$ см. Тогда периметр треугольника PMF равен $2x$ см.

Из условия известно, что периметр треугольника ABC равен 120 см. Периметр треугольника BNM (треугольника 1:2 к треугольнику ABC) равен $\frac{1}{3} \times 120 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Таким образом, $x = 40 \text{ см}$, и периметр треугольника PMF равен $2x = 80 \text{ см}$.